Suites (compléments)

Suites (compléments) — Terminale Spécialité

Suites (compléments)

1. Raisonnement par récurrence

Principe de récurrence : Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n n_0, on procède en deux étapes :

  1. Initialisation : on vérifie que P(n_0) est vraie.
  2. Hérédité : on suppose P(n) vraie pour un entier n n_0 fixé (hypothèse de récurrence) et on démontre que P(n+1) est vraie.

Si ces deux étapes sont vérifiées, alors P(n) est vraie pour tout n n_0.

Méthode : rédiger une récurrence :

  1. Énoncer clairement la propriété P(n)

  2. Initialisation : vérifier P(n_0) par calcul direct

  3. Hérédité : écrire « Supposons P(n) vraie pour un n n_0 fixé » puis montrer P(n+1)

  4. Conclusion : « Par récurrence, P(n) est vraie pour tout n n_0 »

Exemple : Montrer que pour tout n 1 : _{k=1}^{n} k = n(n+1){2}.

Initialisation (n = 1) : _{k=1}^{1} k = 1 et 1 2{2} = 1 ✓

Hérédité : supposons la propriété vraie au rang n, c'est-à-dire _{k=1}^{n} k = n(n+1){2}.

_{k=1}^{n+1} k = _{k=1}^{n} k + (n+1) = n(n+1){2} + (n+1) = n(n+1) + 2(n+1){2} = (n+1)(n+2){2}

C'est bien la formule au rang n+1 ✓

Conclusion : par récurrence, _{k=1}^{n} k = n(n+1){2} pour tout n 1.

2. Limites de suites

Suite convergente : La suite (u_n) converge vers R si pour tout > 0, il existe un rang N tel que pour tout n N : |u_n - | < .

On note _{n +} u_n = .

Suite divergente : Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Elle peut :

  • tendre vers + ou -
  • n'avoir aucune limite (par exemple u_n = (-1)^n)

Limites de référence :

Suite Limite
1{n}, 1{n^2}, 1{n} 0
n, n^2, n +
q^n avec q
q^n avec q > 1 +
q^n avec q -1 pas de limite

Opérations sur les limites : Si u_n = et v_n = ' (limites finies), alors :

(u_n + v_n) = + '

(u_n v_n) = '

u_n{v_n} = {'} (si ' 0)

Formes indéterminées : Les cas suivants nécessitent une étude plus poussée :

    • ; 0 ; {} ; 0{0}

3. Théorèmes de convergence

Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante et majorée converge.

Toute suite décroissante et minorée converge.

Application : Pour montrer qu'une suite converge, on peut :

  1. Montrer qu'elle est monotone (par récurrence ou par étude de u_{n+1} - u_n)
  2. Montrer qu'elle est bornée (par récurrence)
  3. Conclure par le théorème de convergence monotone

Théorème des gendarmes (squeeze theorem) : Si pour tout n n_0 : a_n u_n b_n et a_n = b_n = , alors u_n = .

Exemple : u_n = (n){n}. On a -1 (n) 1 donc -1{n} u_n 1{n}.

Or _{n +} -1{n} = _{n +} 1{n} = 0, donc par le théorème des gendarmes : u_n = 0.

4. Suites adjacentes

Suites adjacentes : Deux suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes si :

  1. (u_n) est croissante
  2. (v_n) est décroissante
  3. _{n +} (v_n - u_n) = 0

Théorème des suites adjacentes : Si (u_n) et (v_n) sont adjacentes, alors elles convergent vers la même limite , et pour tout n :

[formule]

Exemple : u_n = _{k=0}^{n} 1{k!} et v_n = u_n + 1{n n!}.

On peut montrer que (u_n) est croissante, (v_n) est décroissante et v_n - u_n = 1{n n!} 0. Ces suites adjacentes convergent vers e.

5. Suite u_{n+1} = f(u_n) et point fixe

Suite récurrente et point fixe : Soit f une fonction et (u_n) une suite définie par u_0 donné et u_{n+1} = f(u_n).

Un point fixe de f est une valeur telle que f() = .

Limite et point fixe : Si la suite (u_n) définie par u_{n+1} = f(u_n) converge vers et si f est continue en , alors est un point fixe de f :

[formule]

Méthode : étude de u_{n+1} = f(u_n) :

  1. Conjecturer la limite : résoudre f(x) = x pour trouver les points fixes

  2. Monotonie : étudier le signe de u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n

  3. Bornes : montrer par récurrence que (u_n) reste dans un intervalle

  4. Convergence : appliquer le théorème de convergence monotone

  5. Conclusion : la limite est le point fixe dans l'intervalle

Exemple : u_0 = 1 et u_{n+1} = 2 + u_n.

Point fixe : = 2 + , soit ^2 - - 2 = 0, d'où = 2 (on rejette = -1).

Par récurrence : 0 u_n 2 pour tout n.

u_{n+1} - u_n = 2 + u_n - u_n = 2 + u_n - u_n^2{2 + u_n + u_n} = (2 - u_n)(1 + u_n){2 + u_n + u_n} 0

Donc (u_n) est croissante et majorée par 2 : elle converge vers = 2.

6. Applications

Sommes classiques :

  • _{k=1}^{n} k = n(n+1){2}

  • _{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1){6}

  • _{k=0}^{n} q^k = 1 - q^{n+1}{1 - q} (q 1)

Croissances comparées :

  • _{n +} (n){n} = 0 (le logarithme croît moins vite que toute puissance)

Pour tout q > 1 : _{n +} n{q^n} = 0 (l'exponentielle croît plus vite que toute puissance)

_{n +} n!{q^n} = + pour tout q > 0 (la factorielle domine l'exponentielle)

À retenir

Résumé :

  1. Récurrence : initialisation + hérédité → conclusion pour tout n n_0

  2. Convergence** : u_n = signifie que u_n s'approche de

  3. Convergence monotone** : croissante + majorée → converge ; décroissante + minorée → converge

  4. Gendarmes** : si a_n u_n b_n avec a_n = b_n = , alors u_n =

  5. Suites adjacentes** : (u_n) croissante, (v_n) décroissante, v_n - u_n 0 → même limite

  6. Point fixe** : si u_{n+1} = f(u_n) converge vers et f continue, alors f() =