Applications des intégrales

Intégration — Terminale Spécialité

Applications des intégrales

1. Aire entre deux courbes

Aire entre deux courbes : Soient f et g deux fonctions continues sur [a ; b]. L'aire du domaine compris entre les courbes C_f et C_g et les droites x = a et x = b est :

[formule]

Méthode : calculer l'aire entre deux courbes :

  1. Résoudre f(x) = g(x) pour trouver les points d'intersection

  2. Déterminer le signe de f(x) - g(x) sur chaque sous-intervalle

  3. Découper l'intégrale aux points où les courbes se croisent

  4. Calculer chaque intégrale en tenant compte du signe :

    • Si f g sur [ ; ] : _^ [f(x) - g(x)],dx

    • Si f g sur [ ; ] : _^ [g(x) - f(x)],dx

  5. Additionner les aires partielles

Exemple 1 : Calculer l'aire entre les courbes de f(x) = x^2 et g(x) = x sur [0 ; 1].

Intersection : x^2 = x x(x-1) = 0 x = 0 ou x = 1.

Signe : Sur ]0 ; 1[ : g(x) - f(x) = x - x^2 = x(1-x) > 0, donc g f.

[formule]

Exemple 2 : Calculer l'aire entre f(x) = x^2 - 2 et g(x) = -x^2 + 2 sur [-2 ; 2].

Intersection : x^2 - 2 = -x^2 + 2 2x^2 = 4 x = 2.

Signe : g(x) - f(x) = -2x^2 + 4 = -2(x^2 - 2).

Sur [-2 ; 2] : g f ; sur [-2 ; -2] et [2 ; 2] : f g.

Par symétrie : [formule]

_0^{2} (-2x^2+4),dx = [-2x^3{3} + 4x]_0^{2} = -4{2}{3} + 42 = 8{2}{3}

{2}^{2} (2x^2-4),dx = [2x^3{3} - 4x]{2}^{2} = (16{3} - 8) - (2{2 2}{3} - 42) = -8{3} + 8{2}{3} = 8({2-1)}{3}

[formule]

Attention : Il ne faut pas confondre _a^b [f(x) - g(x)],dx (qui peut être négatif) avec l'aire _a^b |f(x) - g(x)|,dx (toujours positive). L'aire exige de gérer la valeur absolue en découpant l'intervalle.

2. Valeur moyenne d'une fonction

Valeur moyenne : La valeur moyenne de f continue sur [a ; b] (avec a < b) est le nombre :

[formule]

Interprétation graphique : La valeur moyenne est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a la même aire que le domaine sous la courbe de f.

En effet : aire du rectangle = (b - a) = _a^b f(x),dx = aire sous la courbe.

Méthode : calculer une valeur moyenne :

  1. Identifier l'intervalle [a ; b] et la fonction f

  2. Calculer _a^b f(x),dx

  3. Diviser par (b - a)

Exemple 1 : Valeur moyenne de f(x) = x^2 + 1 sur [-1 ; 2].

[formule]

[formule]

Exemple 2 : Valeur moyenne de f(x) = (x) sur [0 ; ].

[formule]

Cas particuliers :

  • La valeur moyenne d'une fonction constante f(x) = k est k.
  • Si f 0 sur [a ; b], alors 0.
  • Si m f(x) M sur [a ; b], alors m M.

3. Intégration par parties (IPP)

Formule d'intégration par parties : Si u et v sont dérivables sur [a ; b] avec u' et v' continues, alors :

[formule]

En notation abrégée : _a^b u,v' = [uv]_a^b - _a^b u'v

Méthode détaillée : appliquer une IPP :

  1. Identifier u et v' dans le produit à intégrer

  2. Calculer u' (en dérivant u) et v (en primitivant v')

  3. Appliquer la formule : [uv]_a^b - _a^b u'v,dx

  4. Calculer le crochet et la nouvelle intégrale

Règle de choix (LIATE) : choisir u en priorité dans cet ordre :

  • Logarithme () → Inverse → Algébrique (x^n) → Trigonométrique → Exponentielle

On choisit u le plus à gauche possible dans cette liste.

Exemple 1 : polynôme × exponentielle : I = _0^2 x,e^{-x},dx

On pose u(x) = x et v'(x) = e^{-x}, donc u'(x) = 1 et v(x) = -e^{-x}.

[formule]

[formule]

Exemple 2 : logarithme : J = _1^e (x),dx

On pose u(x) = (x) et v'(x) = 1, donc u'(x) = 1{x} et v(x) = x.

[formule]

[formule]

Exemple 3 : double IPP : K = _0^1 x^2,e^x,dx

1re IPP : u = x^2, v' = e^x, u' = 2x, v = e^x.

[formule]

2e IPP : u = x, v' = e^x, u' = 1, v = e^x.

[formule]

Donc K = e - 2 1 = e - 2.

Attention : L'IPP ne simplifie pas toujours le calcul ! Si l'intégrale obtenue est plus compliquée que l'originale, il faut revoir le choix de u et v'.

4. Volume de révolution (introduction)

Solide de révolution : Lorsqu'on fait tourner le domaine sous la courbe de f (entre x = a et x = b) autour de l'axe des abscisses, on obtient un solide de révolution.

Volume de révolution : Si f est continue et positive sur [a ; b], le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe de f autour de l'axe (Ox) est :

[formule]

Méthode : calculer un volume de révolution :

  1. Identifier la fonction f et l'intervalle [a ; b]

  2. Calculer [f(x)]^2 et développer si nécessaire

  3. Calculer _a^b [f(x)]^2,dx

  4. Multiplier par

Exemple 1 : cône : Volume du cône engendré par f(x) = x entre x = 0 et x = r tournant autour de (Ox).

[formule]

C'est bien la formule du cône de rayon r et de hauteur r : V = 1{3} r^2 h avec h = r.

Exemple 2 : sphère : Volume de la sphère de rayon R : on fait tourner f(x) = R^2 - x^2 (demi-cercle) autour de (Ox) sur [-R ; R].

[formule]

[formule]

On retrouve la formule classique du volume de la sphère.

À retenir : Le volume de révolution est au programme de Terminale comme ouverture. On utilise le même principe que pour les aires, mais en élevant f(x) au carré et en multipliant par .

À retenir

Résumé :

  1. Aire entre deux courbes : A = _a^b |f(x) - g(x)|,dx ; il faut découper aux points d'intersection

  2. Valeur moyenne : = 1{b-a}_a^b f(x),dx ; c'est la hauteur du rectangle de même aire

  3. IPP : u,v' = [uv] - u'v ; choisir u selon la règle LIATE (Logarithme → Algébrique → Trigonométrique → Exponentielle)

  4. Une double IPP est parfois nécessaire pour les polynômes de degré 2

  5. Volume de révolution : V = _a^b [f(x)]^2,dx (rotation autour de l'axe (Ox))