Primitives : tableau complet et méthodes

Intégration — Terminale Spécialité

Primitives : tableau complet et méthodes

1. Tableau complet des primitives usuelles

Primitives des fonctions puissances :

Fonction f(x) Primitive F(x) Domaine de validité
k (constante) kx R
x^n (n Z,, n -1) x^{n+1}{n+1} R si n 0 ; R^* si n < -1
1{x} x
1{x^2} = x^{-2} -1{x} R^*
1{x} = x^{-1/2} 2x ]0 ; +[
x = x^{1/2} 2{3}x^{3/2} [0 ; +[
x^ ( R,, -1) x^{+1}{+1} ]0 ; +[

Primitives des fonctions exponentielles et logarithmes :

Fonction f(x) Primitive F(x) Domaine
e^x e^x R
e^{ax} (a 0) 1{a}e^{ax} R

Primitives des fonctions trigonométriques :

Fonction f(x) Primitive F(x) Domaine
(x) (x) R
(x) -(x) R
(ax) (a 0) 1{a}(ax) R
(ax) (a 0) -1{a}(ax) R

Attention : Toutes ces primitives sont définies à une constante additive C près. Par convention, on écrit la primitive sans la constante dans les tableaux, mais il ne faut jamais l'oublier dans les calculs !

2. Primitives de fonctions composées

Règle fondamentale : Si F est une primitive de f, alors une primitive de u'(x) f(u(x)) est F(u(x)).

On reconnaît la forme u' f(u) et on « intègre par rapport à u ».

Tableau des primitives de fonctions composées :

Fonction Primitive Condition
u',u^n (n -1) u^{n+1}{n+1} n Z
u'{u} u
u'{u^2} -1{u} u ne s'annule pas
u'{2u} u u > 0
u',e^u e^u —
u'(u) (u) —
u'(u) -(u) —

Exemple 1 : forme u',u^n : Trouver une primitive de f(x) = 2x(x^2 + 1)^3.

On pose u(x) = x^2 + 1, donc u'(x) = 2x.

On reconnaît f(x) = u'(x) u(x)^3 avec n = 3.

[formule]

Vérification : F'(x) = 4(x^2+1)^3 2x{4} = 2x(x^2+1)^3 = f(x) ✓

Exemple 2 : forme u'{u} : Trouver une primitive de g(x) = 2x{x^2 + 3} sur R.

On pose u(x) = x^2 + 3, donc u'(x) = 2x et u(x) > 0 pour tout x.

On reconnaît g(x) = u'(x){u(x)}.

[formule]

Exemple 3 : forme u',e^u : Trouver une primitive de h(x) = 2x,e^{x^2}.

On pose u(x) = x^2, donc u'(x) = 2x.

On reconnaît h(x) = u'(x),e^{u(x)}.

[formule]

Exemple 4 : forme u'(u) : Trouver une primitive de p(x) = 3x^2 (x^3).

On pose u(x) = x^3, donc u'(x) = 3x^2.

On reconnaît p(x) = u'(x) (u(x)).

[formule]

Méthode : reconnaître une forme composée :

  1. Observer si la fonction contient un facteur qui ressemble à la dérivée d'une expression interne

  2. Poser u = expression interne et calculer u'

  3. Vérifier que f(x) s'écrit sous la forme u' g(u) (éventuellement à un coefficient multiplicatif près)

  4. Écrire la primitive G(u(x))

  5. Toujours vérifier en dérivant le résultat

Astuce du coefficient : Si on a f(x) = k u'(x) g(u(x)) avec k constante, alors :

[formule]

Par exemple : une primitive de 6x,e^{x^2} est 3e^{x^2} (car 6x = 3 2x et u' = 2x).

3. Décomposition en éléments simples

Fraction rationnelle : Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes : P(x){Q(x)}.

Pour trouver une primitive, on décompose la fraction en somme de fractions plus simples.

Méthode de décomposition : Pour décomposer P(x){Q(x)} quand (P) < (Q) et Q a des racines simples x_1, x_2, :

  1. Factoriser le dénominateur Q(x)

  2. Écrire P(x){Q(x)} = a{x - x_1} + b{x - x_2} +

  3. Déterminer les coefficients par identification ou en donnant des valeurs à x

  4. Intégrer chaque fraction : a{x - x_1},dx = a,|x - x_1|

Si (P) (Q), effectuer d'abord la division euclidienne.

Exemple : Trouver une primitive de f(x) = 1{x^2 - 1} sur ]1 ; +[.

Étape 1 : x^2 - 1 = (x-1)(x+1)

Étape 2 : 1{(x-1)(x+1)} = a{x-1} + b{x+1}

Étape 3 : En multipliant par (x-1)(x+1) : 1 = a(x+1) + b(x-1)

x = 1 : 1 = 2a, donc a = 1{2}

x = -1 : 1 = -2b, donc b = -1{2}

Ainsi : 1{x^2-1} = 1{2}(1{x-1} - 1{x+1})

Étape 4 : F(x) = 1{2}[|x-1| - |x+1|] = 1{2}|x-1{x+1}|

Sur ]1;+[ : F(x) = 1{2}(x-1{x+1}).

4. Primitive et condition initiale

Méthode : déterminer une primitive particulière : Pour trouver l'unique primitive F de f sur I telle que F(a) = b :

  1. Calculer la primitive générale : F(x) = G(x) + C (où G est une primitive quelconque)

  2. Utiliser la condition : F(a) = G(a) + C = b, d'où C = b - G(a)

  3. Conclure : F(x) = G(x) + b - G(a)

Formule directe : On peut aussi écrire directement :

[formule]

En effet, F(a) = b + _a^a f(t),dt = b + 0 = b et F'(x) = f(x).

Exemple 1 : Trouver F primitive de f(x) = (x) telle que F() = 3.

Primitive générale : F(x) = (x) + C.

F() = () + C = 0 + C = 3, donc C = 3.

[formule]

Exemple 2 : Trouver F primitive de f(x) = 2x{(x^2+1)^2} telle que F(0) = 5.

On reconnaît la forme u'{u^2} avec u(x) = x^2 + 1 et u'(x) = 2x.

Primitive générale : F(x) = -1{x^2+1} + C.

F(0) = -1{1} + C = -1 + C = 5, donc C = 6.

[formule]

5. Tableau récapitulatif complet

Récapitulatif : primitives usuelles et composées :

Forme de f(x) Primitive F(x) Conditions
x^n x^{n+1}{n+1} n -1
1{x} x
e^{ax} 1{a}e^{ax} a 0
(ax) 1{a}(ax) a 0
(ax) -1{a}(ax) a 0
u',u^n u^{n+1}{n+1} n -1
u'{u} u
u',e^u e^u —
u'(u) (u) —
u'(u) -(u) —
u'{2u} u u > 0
a{x - x_0} a, x - x_0

À retenir

Résumé :

  1. Les primitives usuelles (x^n, e^x, , , 1/x, 1/x) doivent être connues par cœur

  2. Pour les fonctions composées, on cherche la forme u' f(u) et la primitive est F(u)

  3. Les formes les plus fréquentes : u'u^n u^{n+1}{n+1}, u'{u} |u|, u'e^u e^u

  4. Pour décomposer une fraction rationnelle : factoriser le dénominateur, puis écrire en somme de fractions de la forme a{x - x_0}

  5. Pour trouver la primitive vérifiant F(a) = b : calculer la primitive générale puis déterminer la constante C, ou utiliser F(x) = b + _a^x f(t),dt

  6. Toujours vérifier en dérivant le résultat obtenu