Intégration

1. Primitives

Primitive d'une fonction : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et si pour tout x I :

[formule]

Attention : Si F est une primitive de f sur I, alors pour toute constante C R, la fonction G = F + C est aussi une primitive de f sur I.

Réciproquement, deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Tableau des primitives usuelles :

Exemple : Trouver une primitive de f(x) = 3x^2 - 4x + 5.

F(x) = 3 x^3{3} - 4 x^2{2} + 5x = x^3 - 2x^2 + 5x

Vérification : F'(x) = 3x^2 - 4x + 5 = f(x) ✓

Primitive passant par un point : Pour déterminer l'unique primitive F de f telle que F(a) = b, on calcule d'abord la primitive générale F(x) + C, puis on détermine C en résolvant F(a) + C = b.

2. Intégrale définie

Intégrale d'une fonction continue : Soit f une fonction continue sur [a ; b] et F une primitive de f sur [a ; b]. L'intégrale de f de a à b est :

[formule]

Attention : Le résultat ne dépend pas du choix de la primitive : toutes donnent la même valeur.

Exemple 1 : _1^3 2x,dx = [x^2]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8

Exemple 2 : _0^1 e^x,dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1

Exemple 3 : _1^e 1{x},dx = [(x)]_1^e = (e) - (1) = 1 - 0 = 1

3. Propriétés de l'intégrale

Linéarité de l'intégrale : Pour f et g continues sur [a ; b] et , R :

[formule]

Relation de Chasles : Pour f continue sur un intervalle contenant a, b et c :

[formule]

Positivité de l'intégrale : Si f est continue et positive sur [a ; b] (avec a b), alors :

[formule]

Si de plus f g sur [a ; b], alors :

[formule]

Convention de signe : [formule]

4. Interprétation géométrique : aire sous la courbe

Aire et intégrale : Si f est continue et positive sur [a ; b], alors _a^b f(x),dx représente l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe C_f, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.

Si f change de signe, l'aire totale est :

[formule]

Exemple : Aire sous f(x) = x^2 entre 0 et 2 :

= _0^2 x^2,dx = [x^3{3}]_0^2 = 8{3} - 0 = 8{3} u.a.

Méthode : aire entre deux courbes : L'aire entre les courbes de f et g (avec f g) sur [a ; b] est :

[formule]

5. Valeur moyenne

Valeur moyenne d'une fonction : La valeur moyenne de f sur l'intervalle [a ; b] (avec a < b) est :

[formule]

Exemple : Valeur moyenne de f(x) = x^2 sur [0 ; 3] :

= 1{3 - 0}_0^3 x^2,dx = 1{3}[x^3{3}]_0^3 = 1{3} 9 = 3

6. Intégration par parties (IPP)

Formule d'intégration par parties : Si u et v sont deux fonctions dérivables sur [a ; b] avec u' et v' continues, alors :

[formule]

Méthode : appliquer une IPP :

1. Identifier u et v' dans l'intégrale

2. Calculer u' et v

3. Appliquer la formule : [uv]_a^b - _a^b u'v,dx

4. Calculer l'intégrale restante

Astuce : on choisit u de sorte que u' simplifie le calcul (souvent u est un polynôme).

Exemple 1 : I = _0^1 x,e^x,dx

On pose u(x) = x et v'(x) = e^x, donc u'(x) = 1 et v(x) = e^x.

I = [x,e^x]_0^1 - _0^1 1 e^x,dx = (1 e^1 - 0) - [e^x]_0^1

I = e - (e - 1) = 1

Exemple 2 : J = _1^e (x),dx

On pose u(x) = (x) et v'(x) = 1, donc u'(x) = 1{x} et v(x) = x.

J = [x(x)]_1^e - _1^e x 1{x},dx = (e 1 - 1 0) - _1^e 1,dx

J = e - [x]_1^e = e - (e - 1) = 1

À retenir

Résumé :

1. F est primitive de f si F' = f ; deux primitives diffèrent d'une constante

2. _a^b f(x),dx = F(b) - F(a)

3. Linéarité : ( f + g) = f + g

4. Chasles : _a^b + _b^c = _a^c

5. Si f 0 : _a^b f 0 (aire sous la courbe)

6. Valeur moyenne : = 1{b-a}_a^b f(x),dx

7. IPP : u,v' = [uv] - u',v