Équations, études de fonctions et croissances comparées

Fonction exponentielle — Terminale Spécialité

Équations, études de fonctions et croissances comparées

1. Résolution d'équations avec l'exponentielle

Méthode : résoudre e^{A(x)} = e^{B(x)} : L'exponentielle est strictement croissante, donc :

[formule]

On ramène les deux membres sous la forme e^{quelque chose}, puis on identifie les exposants.

Exemple 1 : Résoudre e^{x^2 - 1} = e^{3x - 3}.

e^{x^2 - 1} = e^{3x - 3} x^2 - 1 = 3x - 3 x^2 - 3x + 2 = 0.

= 9 - 8 = 1. x_1 = 1 et x_2 = 2.

Solution : S = {1 ; 2}.

Méthode : résoudre e^{A(x)} = k :

  • Si k > 0 : e^{A(x)} = k A(x) = (k).

  • Si k 0 : pas de solution (car e^x > 0 toujours).

Exemple 2 : Résoudre e^{2x+1} = 7.

e^{2x+1} = 7 2x + 1 = 7 x = 7 - 1{2}.

Solution : S = { 7 - 1{2}}.

Exemple 3 : changement de variable : Résoudre e^{2x} + 2e^x - 3 = 0.

On pose X = e^x > 0. L'équation devient X^2 + 2X - 3 = 0.

= 4 + 12 = 16. X_1 = -2 + 4{2} = 1 et X_2 = -2 - 4{2} = -3.

X_2 = -3 < 0 : impossible car X = e^x > 0.

X_1 = 1 : e^x = 1 x = 0.

Solution : S = {0}.

2. Résolution d'inéquations avec l'exponentielle

Règle fondamentale : L'exponentielle est strictement croissante sur R, donc :

[formule]

[formule]

Le sens de l'inégalité est conservé.

Attention : Ne pas confondre avec ! Pour , qui est aussi croissante, on conserve aussi le sens. Mais bien vérifier les conditions de définition ( n'est définie que sur ]0 ; +[).

Exemple 1 : Résoudre e^{-x+2} > e^{3x}.

e^{-x+2} > e^{3x} -x + 2 > 3x 2 > 4x x < 1{2}.

Solution : S = ]- ; 1{2}[.

Exemple 2 : Résoudre e^{x^2} e^4.

e^{x^2} e^4 x^2 4 -2 x 2.

Solution : S = [-2 ; 2].

Méthode : inéquation avec constante : Pour résoudre e^{A(x)} k :

  • Si k 0 : l'inéquation est vérifiée pour tout x (car e^{A(x)} > 0 k).

  • Si k > 0 : on écrit e^{A(x)} k A(x) (k).

3. Fonctions composées avec l'exponentielle

Dérivée de e^{u(x)} : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f(x) = e^{u(x)} est dérivable sur I et :

[formule]

Exemples de dérivées :

Fonction f(x) u(x) u'(x) f'(x)
e^{3x-2} 3x - 2 3 3e^{3x-2}
e^{-x^2+1} -x^2+1 -2x -2x , e^{-x^2+1}
e^{x} (x > 0) x 1{2x} e^{{x}}{2x}
e^{1/x} (x 0) 1{x} -1{x^2} -e^{1/x}{x^2}

Formules utiles de dérivation : Soit u dérivable. On a également :

[formule]

Plus généralement, pour f = g e^u avec g et u dérivables :

[formule]

4. Croissances comparées

Croissances comparées exp/puissances : Pour tout entier naturel n 1 :

[formule]

[formule]

L'exponentielle l'emporte toujours sur les puissances.

Méthode : utiliser la croissance comparée : Pour lever une forme indéterminée en + ou - :

  1. En + : si la limite est de la forme {}, factoriser par e^x et utiliser x^n{e^x} 0.

  2. En - : si la limite est de la forme 0, utiliser directement x^n e^x 0.

  3. Changement de variable : si on a e^{ x} avec 1, poser t = x pour se ramener au cas standard.

Exemple 1 : _{x +} e^{2x}{x^3}.

On pose t = 2x (quand x +, t +). Alors x = t{2} et :

e^{2x}{x^3} = e^t{(t/2)^3} = 8 e^t{t^3} + par croissance comparée.

Exemple 2 : _{x +} (x^2 - 3x) e^{-x}.

(x^2 - 3x) e^{-x} = x^2 - 3x{e^x} = x^2{e^x} - 3x{e^x}.

Par croissance comparée : x^2{e^x} 0 et 3x{e^x} 0, donc la limite est 0.

Exemple 3 : _{x -} (x^3 + 2x) e^x.

_{x -} x^3 e^x = 0 et _{x -} 2x , e^x = 0 par croissance comparée.

Donc _{x -} (x^3 + 2x) e^x = 0.

5. Étude de fonction : f(x) = x , e^{-x}

Étude complète : Soit f(x) = x , e^{-x} sur R.

Domaine : D_f = R.

Limites :

  • En + : f(x) = x{e^x} 0 par croissance comparée.
  • En - : x - et e^{-x} +, donc f(x) -.

Asymptote : y = 0 est asymptote horizontale en +.

Dérivée : f'(x) = 1 e^{-x} + x (-1) e^{-x} = (1 - x) e^{-x}.

Comme e^{-x} > 0, le signe de f'(x) est celui de 1 - x.

f'(x) = 0 x = 1. f'(x) > 0 si x < 1. f'(x) < 0 si x > 1.

Maximum : f(1) = 1 e^{-1} = 1{e}.

x - 1 +
f'(x) + 0 -
f(x) - 1{e} 0

6. Étude de fonction : f(x) = e^x - x - 1

Étude complète : Soit f(x) = e^x - x - 1 sur R.

Limites :

  • En + : e^x + l'emporte, donc f(x) +.
  • En - : e^x 0 et -x - 1 +, donc f(x) +.

Dérivée : f'(x) = e^x - 1.

f'(x) = 0 e^x = 1 x = 0.

f'(x) < 0 si x < 0 (car e^x < 1). f'(x) > 0 si x > 0 (car e^x > 1).

Minimum : f(0) = e^0 - 0 - 1 = 0.

x - 0 +
f'(x) - 0 +
f(x) + 0 +

Conclusion : f(x) 0 pour tout x, donc e^x x + 1 pour tout x R, avec égalité uniquement en x = 0.

Ceci est la preuve analytique de l'inégalité de convexité de l'exponentielle !

À retenir

Résumé :

  1. e^{A(x)} = e^{B(x)} A(x) = B(x) et e^{A(x)} = k A(x) = k (pour k > 0)

  2. e^{A(x)} e^{B(x)} A(x) B(x) (l'exponentielle est strictement croissante)

  3. (e^u)' = u' e^u pour toute fonction dérivable u

  4. Croissances comparées : e^x{x^n} + + et x^n e^x - 0

  5. Pour étudier f = P e^Q : le signe de f' ne dépend que du facteur polynomial (car e^Q > 0)

  6. L'inégalité e^x x + 1 se démontre par l'étude de f(x) = e^x - x - 1 (minimum 0 en x = 0)