Étude complète de la fonction exponentielle
1. Domaine et dérivée
Domaine de définition : La fonction exponentielle : x e^x est définie et dérivable sur R tout entier.
[formule]
Dérivées successives : Pour tout x R :
[formule]
La fonction exponentielle est égale à toutes ses dérivées successives.
2. Convexité
Convexité de : La fonction exponentielle est convexe sur R.
En effet, (e^x)'' = e^x > 0 pour tout x R.
Conséquence géométrique : La courbe de est toujours au-dessus de chacune de ses tangentes. En particulier, pour tout x R :
[formule]
Cette inégalité est une conséquence directe de la convexité et de la tangente en x = 0.
3. Limites
Limites aux bornes : [formule]
[formule]
La droite d'équation y = 0 (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe en -.
4. Tableau de variations
Variations de : La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
| x | - | + | |
|---|---|---|---|
| e^x | 0 | + |
Valeurs remarquables : e^0 = 1, e^1 = e 2{,}718.
5. Courbe et tangentes remarquables
Tangente en x = 0 : L'équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse 0 est :
[formule]
Cette tangente passe par l'origine décalée : elle coupe l'axe Oy en (0, 1) et l'axe Ox en (-1, 0).
Tangente en un point quelconque : Au point d'abscisse a, l'équation de la tangente est :
[formule]
Par exemple, en a = 1 : y = e(x - 1 + 1) = ex.
La tangente en (1, e) passe par l'origine O.
Courbe et tangente en 0 : La courbe y = e^x est toujours au-dessus de la tangente y = x + 1 (sauf au point de tangence x = 0). C'est la conséquence de la convexité : e^x x + 1 pour tout x.
6. Relation exponentielle / logarithme népérien
Fonctions réciproques : Les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre :
[formule]
[formule]
Autrement dit :
[formule]
Symétrie graphique : Les courbes de et de sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
En effet, le point (a, b) est sur la courbe de (c'est-à-dire b = e^a) si et seulement si le point (b, a) est sur la courbe de (c'est-à-dire a = b).
Lecture graphique : Si l'on sait que e^2 7{,}39, alors (7{,}39) 2.
Le point (2 ; 7{,}39) sur la courbe de correspond au point (7{,}39 ; 2) sur la courbe de .
7. Propriétés algébriques avancées
Rappel des propriétés fondamentales : Pour tous réels a et b :
[formule]
[formule]
[formule]
[formule]
Propriétés de puissance : Pour tout n Z et tout a R :
[formule]
En particulier :
- e^{2a} = (e^a)^2
- e^{a/2} = e^a
- e^{a/n} = [n]{e^a} pour n N^*
Exemple de simplification : Simplifier A = e^{3x (e^{-x})^2}{e^{x+1}}.
A = e^{3x e^{-2x}}{e^{x+1}} = e^{3x - 2x}{e^{x+1}} = e^x{e^{x+1}} = e^{x - (x+1)} = e^{-1} = 1{e}.
8. Exponentielle de base a
Exponentielle de base a : Soit a > 0, a 1. La fonction exponentielle de base a est définie par :
[formule]
Elle est définie pour tout x R.
Propriétés de a^x : Pour tout a > 0 (a 1) et tous réels x, y :
[formule]
[formule]
[formule]
Si a > 1 : a^x est strictement croissante.
Si 0 < a < 1 : a^x est strictement décroissante.
Exemple : dérivée de 2^x : f(x) = 2^x = e^{x 2}.
f'(x) = (2) e^{x 2} = (2) 2^x.
Exemple : résolution : Résoudre 3^x = 81.
3^x = 81 = 3^4, donc x = 4.
Ou bien : 3^x = 81 e^{x 3} = e^{ 81} x 3 = 81 x = 81{ 3} = 4 3{ 3} = 4.
À retenir
Résumé :
est définie, dérivable et convexe sur R, avec (e^x)' = (e^x)'' = e^x
_{x +} e^x = +, _{x -} e^x = 0 (asymptote y = 0)
est strictement croissante et toujours positive sur R
Tangente en 0 : y = x + 1. Convexité : e^x x + 1 pour tout x
et sont réciproques : (e^x) = x et e^{ x} = x. Courbes symétriques par rapport à y = x
a^x = e^{x a} pour a > 0, avec (a^x)' = (a) a^x