Fonction exponentielle

1. Définition

Fonction exponentielle : La fonction exponentielle, notée ou x e^x, est l'unique fonction f définie et dérivable sur R telle que :

[formule]

On note e = (1) 2{,}718.

Notation : (x) = e^x. Les deux écritures sont équivalentes. On utilise (x) quand l'exposant est complexe, par exemple (x^2 + 1{3}).

2. Propriétés algébriques

Propriétés algébriques de l'exponentielle : Pour tous réels a et b :

[formule]

[formule]

[formule]

[formule]

[formule]

Attention aux erreurs fréquentes :

• e^{a+b} e^a + e^b
• e^{ab} e^a e^b (sauf si b est entier et qu'on écrit (e^a)^b)
• (e^a)^2 = e^{2a} et non e^{a^2}

Exemple : simplifier une expression : Simplifier A = e^5 e^{-2}{e^3}.

A = e^{5+(-2)}{e^3} = e^3{e^3} = e^0 = 1.

Exemple : Simplifier B = (e^2)^3 e^{-4}.

B = e^{6} e^{-4} = e^{6-4} = e^2.

Teste tes connaissances : question: Simplifier e^{2} e^{3} :

• e^{6}
• e^{5}
• e^{23}
• 2e^{3} explication: On utilise la propriété e^a e^b = e^{a+b}, donc e^2 e^3 = e^{2+3} = e^5.

3. Relation exp / ln

Identités fondamentales : Pour tout x R : (e^x) = x

Pour tout x > 0 : e^{(x)} = x

Équivalences : Pour tous réels a et b (avec les conditions de positivité si nécessaire) :

[formule]

[formule]

[formule]

Exemple : Résoudre e^{2x} = 5.

e^{2x} = 5 2x = (5) x = (5){2}.

4. Dérivée de la fonction exponentielle

Dérivée de : La fonction exponentielle est dérivable sur R et :

[formule]

Plus généralement, si u est une fonction dérivable :

[formule]

Exemple : Soit f(x) = e^{3x+1}.

u(x) = 3x + 1, u'(x) = 3. Donc f'(x) = 3e^{3x+1}.

Exemple : Soit g(x) = e^{x^2}.

u(x) = x^2, u'(x) = 2x. Donc g'(x) = 2x , e^{x^2}.

Exemple : Soit h(x) = x e^x.

Par la formule du produit : h'(x) = 1 e^x + x e^x = (1 + x)e^x.

5. Sens de variation et signe

Variations de : La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

En effet, (e^x)' = e^x > 0 pour tout x R.

Signe de l'exponentielle : Pour tout x R : e^x > 0.

L'exponentielle est toujours strictement positive.

Conséquence : Le signe de f(x) = u(x) e^{v(x)} est le même que le signe de u(x), car e^{v(x)} > 0 toujours.

6. Limites et croissance comparée

Limites aux bornes : [formule]

[formule]

Croissance comparée : L'exponentielle croît plus vite que toute puissance de x :

[formule]

[formule]

Formes indéterminées :

• e^x{x^n} en + : forme +{+}, l'exponentielle l'emporte → +.
• x^n e^x en - : forme 0, l'exponentielle l'emporte → 0.

Exemple : _{x +} e^x{x^2} = + (croissance comparée).

_{x -} x^3 e^x = 0 (l'exponentielle « l'emporte »).

Exemple : limite composée : Calculer _{x +} x^2 e^{-x}.

x^2 e^{-x} = x^2{e^x} 0 par croissance comparée (n = 2).

7. Équations et inéquations avec l'exponentielle

Méthode : résoudre des équations avec :

1. Se ramener à e^{A(x)} = e^{B(x)}, puis A(x) = B(x).

2. Ou bien e^{A(x)} = k avec k > 0, puis A(x) = (k).

3. Si k 0 : pas de solution (car e^x > 0).

Exemple : équation : Résoudre e^{2x} - 3e^x + 2 = 0.

On pose X = e^x > 0. L'équation devient X^2 - 3X + 2 = 0.

= 9 - 8 = 1. X_1 = 1 et X_2 = 2.

e^x = 1 x = 0 et e^x = 2 x = (2).

Solution : S = {0 ; (2)}.

Exemple : inéquation : Résoudre e^{3x} e^{x+1}.

e^{3x} e^{x+1} 3x x + 1 2x 1 x 1{2}.

Solution : S = ]- ; 1{2}].

8. Études de fonctions avec l'exponentielle

Méthode : étudier f(x) = P(x) e^{Q(x)} :

1. Domaine : R (l'exponentielle est définie sur R).

2. Dérivée : utiliser les règles de dérivation (produit, composée).

3. Signe de f' : comme e^{Q(x)} > 0, le signe de f' dépend du facteur polynomial.

4. Limites : utiliser la croissance comparée.

Exemple complet : Étudier f(x) = (2x - 1)e^{-x}.

Domaine : R.

Dérivée : f'(x) = 2 e^{-x} + (2x-1) (-1) e^{-x} = (2 - 2x + 1)e^{-x} = (3 - 2x)e^{-x}.

Le signe de f'(x) est celui de 3 - 2x (car e^{-x} > 0).

f'(x) = 0 x = 3{2}. f'(x) > 0 si x < 3{2}, f'(x) < 0 si x > 3{2}.

f croissante sur ]- ; 3{2}], décroissante sur [3{2} ; +[.

Maximum : f(3{2}) = 2e^{-3/2}.

Limites : _{x +} f(x) = 0 (croissance comparée) et _{x -} f(x) = -.

9. Applications : croissance et décroissance exponentielle

Modèle exponentiel : Un phénomène suit une croissance exponentielle si la quantité N(t) vérifie :

[formule]

• Si k > 0 : croissance exponentielle.
• Si k < 0 : décroissance exponentielle.

N_0 est la valeur initiale (N_0 = N(0)) et k est le taux de croissance (ou de décroissance).

Exemple : décroissance radioactive : Une substance radioactive a une masse m(t) = 100 , e^{-0{,}05t} (en grammes, t en années).

• Masse initiale : m(0) = 100 g.
• Demi-vie : m(t) = 50 e^{-0{,}05t} = 0{,}5 -0{,}05t = (0{,}5) t = -(0{,5)}{0{,}05} = 2{0{,}05} 13{,}9 ans.

À retenir

Résumé :

1. est l'unique fonction telle que f' = f et f(0) = 1

2. e^{a+b} = e^a e^b, e^{-a} = 1/e^a, (e^a)^n = e^{na}

3. e^x > 0 toujours, (e^x)' = e^x et (e^u)' = u'e^u

4. est strictement croissante sur R

5. e^x{x^n} + et x^n e^x 0 en - (croissance comparée)

6. e^a = e^b a = b et e^a = k a = k (pour k > 0)