Équations, limites et études de fonctions avec ln

Fonction logarithme — Terminale Spécialité

Équations, limites et études de fonctions avec ln

1. Résolution d'équations avec

Méthode : résoudre (A) = (B) :

  1. Déterminer le domaine : les expressions A et B doivent être strictement positives.

  2. Utiliser l'injectivité : (A) = (B) A = B (car est strictement croissante).

  3. Résoudre l'équation A = B.

  4. Vérifier que la solution appartient au domaine.

Exemple 1 : (A) = (B) : Résoudre (x^2 - 1) = (3x - 3).

Domaine : x^2 - 1 > 0 et 3x - 3 > 0, soit (x < -1 ou x > 1) et x > 1. Donc D = ]1 ; +[.

(x^2 - 1) = (3x - 3) x^2 - 1 = 3x - 3 x^2 - 3x + 2 = 0

= 9 - 8 = 1, x_1 = 3+1{2} = 2 et x_2 = 3-1{2} = 1.

Vérification : x = 2 ]1 ; +[ ✓, x = 1 ]1 ; +[ ✗.

Solution : S = {2}.

Méthode : résoudre (A) = k : (A) = k A = e^k (avec la condition A > 0, automatiquement vérifiée car e^k > 0).

Exemple 2 : (A) = k : Résoudre (2x + 5) = 2.

(2x + 5) = 2 2x + 5 = e^2 x = e^2 - 5{2}.

Vérification : 2x + 5 = e^2 > 0 ✓. Solution : S = {e^2 - 5{2}}.

Exemple 3 : équation se ramenant à un produit : Résoudre (x) + (x - 2) = (3).

Domaine : x > 0 et x - 2 > 0, soit D = ]2 ; +[.

(x) + (x-2) = (3) (x(x-2)) = (3) x^2 - 2x = 3

x^2 - 2x - 3 = 0, = 16, x_1 = 3 et x_2 = -1.

x = 3 > 2 ✓, x = -1 ]2 ; +[ ✗. Solution : S = {3}.

2. Résolution d'inéquations avec

Règle fondamentale : La fonction est strictement croissante, donc elle conserve l'ordre :

Pour a > 0 et b > 0 : (a) (b) a b

Attention au domaine ! : Lors de la résolution d'une inéquation avec , il faut toujours intersecter la solution avec le domaine de validité.

Méthode : résoudre une inéquation :

  1. Déterminer le domaine (arguments > 0).

  2. Se ramener à (A) (B) ou (A) k A e^k.

  3. Résoudre l'inégalité obtenue.

  4. Intersecter avec le domaine.

Exemple 1 : Résoudre (2x - 1) < (x + 3).

Domaine : 2x - 1 > 0 et x + 3 > 0, soit x > 1{2}.

(2x-1) < (x+3) 2x - 1 < x + 3 x < 4.

Intersection avec le domaine : 1{2} < x < 4.

Solution : S = ]1{2} ; 4[.

Exemple 2 : Résoudre 2(x) (x) + 1.

Domaine : x > 0. On simplifie : (x) 1 x e.

Solution : S = [e ; +[.

3. Composées avec : dérivée de (u)

Dérivée de u : Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction f = u est dérivable sur I et :

[formule]

Exemple 1 : f(x) = (x^2 + 3x + 5) : u(x) = x^2 + 3x + 5, u'(x) = 2x + 3.

= 9 - 20 = -11 < 0 et le coefficient de x^2 est positif, donc u(x) > 0 pour tout x R.

[formule]

Exemple 2 : g(x) = [(x) :^2] C'est v^2 avec v(x) = (x), définie pour x > 0.

[formule]

Exemple 3 : h(x) = (x+1{x-1}) pour x > 1 : On simplifie : h(x) = (x+1) - (x-1).

[formule]

4. Limites avec : croissances comparées

Croissances comparées – formes générales : Pour tout > 0 :

[formule]

[formule]

Autrement dit : toute puissance de x « l'emporte » sur (x).

Méthode : calculer une limite avec :

  1. Identifier la forme indéterminée ({}, 0 , - , …).

  2. Se ramener à la forme (x){x^} ou x^ (x) par factorisation ou changement de variable.

  3. Appliquer le résultat de croissance comparée.

Exemple 1 : _{x +} ( x)^2{x} : On pose t = (x), soit x = e^t. Quand x +, t +.

[formule]

car l'exponentielle croît plus vite que tout polynôme.

Exemple 2 : _{x +} (2x - 3(x)) : Forme indéterminée - . On factorise par x :

[formule]

Or (x){x} 0, donc le terme entre parenthèses 2 et x +.

[formule]

Exemple 3 : _{x 0^+} x,(x) : Forme indéterminée 0 (-). On pose t = x, x = t^2, quand x 0^+, t 0^+.

[formule]

par croissance comparée (t t 0).

Exemple 4 : _{x +} (x^2 + 1) - 2(x) : Pour x > 0 : (x^2 + 1) - 2(x) = (x^2 + 1{x^2}) = (1 + 1{x^2}) (1) = 0.

5. Études de fonctions avec

Méthode générale d'étude de fonction : Pour étudier f contenant :

  1. Domaine : trouver où l'argument de est > 0.

  2. Limites aux bornes du domaine (utiliser les croissances comparées si nécessaire).

  3. Dérivée f'(x) (utiliser ( u)' = u'/u ou les règles de dérivation).

  4. Signe de f' et tableau de variations.

  5. Valeurs remarquables et éventuellement tangentes.

Étude de f(x) = x - (x) : Domaine : ]0 ; +[.

Limites :

  • En 0^+ : x 0 et -(x) +, donc f(x) +.
  • En + : f(x) = x(1 - (x){x}) + car x{x} 0.

Dérivée : f'(x) = 1 - 1{x} = x - 1{x}.

f'(x) = 0 x = 1, f'(x) < 0 sur ]0 ; 1[ et f'(x) > 0 sur ]1 ; +[.

Minimum en x = 1 : f(1) = 1 - (1) = 1.

Conséquence : f(x) 1 pour tout x > 0, donc (x) x - 1.

Étude de g(x) = x^2(x) : Domaine : ]0 ; +[.

Limites :

  • En 0^+ : x^2 (x) = x (x(x)) 0 0 = 0.
  • En + : x^2 + et (x) +, donc g(x) +.

Dérivée : g'(x) = 2x(x) + x^2 1{x} = 2x(x) + x = x(2(x) + 1).

Pour x > 0 : g'(x) = 0 2(x) + 1 = 0 (x) = -1{2} x = e^{-1/2} = 1{e}.

g'(x) < 0 sur ]0 ; 1{e}[ et g'(x) > 0 sur ]1{e} ; +[.

Minimum : g(1{e}) = 1{e} (-1{2}) = -1{2e}.

À retenir

Résumé :

  1. (A) = (B) A = B (pour A > 0, B > 0) ; (A) = k A = e^k.

  2. est croissante : (A) (B) A B (pour A, B > 0). Toujours intersecter avec le domaine.

  3. ((u))' = u'{u} lorsque u > 0.

  4. Croissances comparées : (x){x^} 0 en + et x^ (x) 0 en 0^+ pour tout > 0.

  5. Pour une étude de fonction avec : domaine, limites (croissances comparées), dérivée, signe, tableau de variations.

  6. Technique clé : factoriser par la puissance dominante et faire apparaître (x){x} ou x(x).