Étude complète de la fonction ln
1. Domaine de définition et dérivée
Rappel : domaine de : La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; +[.
On note D_f = ]0 ; +[.
Dérivabilité : La fonction est dérivable sur ]0 ; +[ et pour tout x > 0 :
[formule]
Ainsi est strictement croissante sur ]0 ; +[.
2. Limites aux bornes
Limites de : [formule]
[formule]
Interprétation graphique :
- En 0^+ : la courbe admet la droite d'équation x = 0 (l'axe des ordonnées) comme asymptote verticale.
- En + : la courbe monte indéfiniment, mais de plus en plus lentement (croissance « logarithmique »).
3. Tableau de variations complet
Variations de :
| x | 0 | + | |
|---|---|---|---|
| '(x) = 1{x} | + | ||
| (x) | - | + |
La fonction est strictement croissante sur ]0 ; +[.
Valeurs remarquables : (1) = 0, (e) = 1.
4. Courbe représentative et tangentes remarquables
Courbe de : La courbe représentative C de la fonction dans un repère orthonormé passe par les points :
- A(1 ; 0) car (1) = 0
- B(e ; 1) car (e) = 1
- C(e^2 ; 2) car (e^2) = 2
- D(1{e} ; -1) car (1{e}) = -1
Tangentes remarquables : L'équation de la tangente à C au point d'abscisse a > 0 est :
[formule]
Tangente en A(1 ; 0) (c'est-à-dire a = 1) :
[formule]
Cette tangente a pour coefficient directeur 1 et passe par l'origine si prolongée : y = x - 1.
Tangente en B(e ; 1) (c'est-à-dire a = e) :
[formule]
Cette tangente passe par l'origine.
Position relative : La courbe de est en dessous de chacune de ses tangentes (la fonction est concave sur ]0 ; +[).
En effet, ( x)'' = -1{x^2} < 0 pour tout x > 0.
5. Fonction et fonction exponentielle : fonctions réciproques
Symétrie exp / ln : Les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre :
[formule]
[formule]
Graphiquement, les courbes de et de sont symétriques par rapport à la droite y = x.
Lecture graphique de la symétrie : Le point (0 ; 1) appartient à la courbe de (e^0 = 1).
Son symétrique par rapport à y = x est le point (1 ; 0), qui appartient à la courbe de ((1) = 0).
De même, (1 ; e) sur la courbe de correspond à (e ; 1) sur la courbe de .
Ne pas confondre : et ne sont pas des fonctions inverses au sens f g = 1, mais des réciproques au sens de la composition : f g = g f = Id.
Autrement dit : (1{x}) 1{(x)}.
6. Logarithme décimal et changement de base
Logarithme décimal : Le logarithme décimal (ou logarithme en base 10), noté ou _{10}, est défini par :
[formule]
En particulier : _{10}(10) = 1, _{10}(100) = 2, _{10}(1000) = 3.
Changement de base : Plus généralement, le logarithme en base b (b > 0, b 1) est :
[formule]
Cette formule permet de convertir n'importe quel logarithme en logarithme népérien.
Exemple : calculer un logarithme en base 2 : _2(32) = (32){(2)} = (2^5){(2)} = 5(2){(2)} = 5.
On retrouve bien : 2^5 = 32.
7. Applications : échelles logarithmiques
Échelle logarithmique : Une échelle logarithmique est une graduation où chaque pas représente une multiplication par un facteur constant, et non une addition. Cela permet de représenter des grandeurs qui varient sur plusieurs ordres de grandeur.
Décibels (intensité sonore) : Le niveau sonore en décibels (dB) est défini par :
[formule]
où I est l'intensité sonore et I_0 = 10^{-12};W/m^2 est le seuil d'audibilité.
Un son de 60 dB a une intensité 10^6 fois supérieure à I_0, tandis qu'un son de 90 dB a une intensité 10^9 fois supérieure : l'intensité est multipliée par 1000 quand le niveau augmente de 30 dB.
pH (acidité) : Le pH d'une solution est :
[formule]
où [H^+] est la concentration en ions hydrogène (en mol/L).
Un pH de 3 correspond à [H^+] = 10^{-3} mol/L, et un pH de 7 correspond à [H^+] = 10^{-7} mol/L : la concentration est divisée par 10 quand le pH augmente de 1.
Échelle de Richter (séismes) : La magnitude d'un séisme sur l'échelle de Richter est définie à partir du logarithme de l'énergie libérée. Un séisme de magnitude 6 libère environ 31{,}6 fois plus d'énergie qu'un séisme de magnitude 5.
[formule]
Interpréter une échelle logarithmique :
Identifier la grandeur mesurée et la formule logarithmique associée.
Utiliser les propriétés de _{10} pour traduire les additions en multiplications de la grandeur réelle.
Retenir : +1 sur l'échelle log correspond à ** 10** sur la grandeur réelle (pour une base 10).
À retenir
Résumé :
est définie et dérivable sur ]0 ; +[ avec ( x)' = 1{x} > 0 : elle est strictement croissante.
_{x 0^+} (x) = - (asymptote verticale x = 0) et _{x +} (x) = +.
La tangente en (1 ; 0) a pour équation y = x - 1 ; la tangente en (e ; 1) a pour équation y = x{e}.
est concave : ( x)'' = -1{x^2} < 0 ; la courbe est sous ses tangentes.
et sont réciproques : leurs courbes sont symétriques par rapport à y = x.
_b(x) = (x){(b)} ; en particulier _{10}(x) = (x){(10)}.
Applications des échelles logarithmiques : décibels (L = 10{I_0}), pH (= -[H^+]), Richter.