Fonction logarithme népérien

1. Définition

Logarithme népérien : La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction définie sur ]0 ; +[ comme la réciproque (bijection réciproque) de la fonction exponentielle.

Autrement dit, pour tout x > 0 et tout y R :

[formule]

Valeurs remarquables :

• (1) = 0 car e^0 = 1
• (e) = 1 car e^1 = e
• (e^n) = n pour tout entier n

Attention : (x) n'existe que pour x > 0. L'expression (-3) ou (0) n'a pas de sens.

2. Propriétés algébriques

Propriétés fondamentales du logarithme : Pour tous réels a > 0 et b > 0 et tout entier n :

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Exemple : simplifier une expression : Simplifier A = (12) - 2(2) + (3).

A = (12) - (2^2) + (3) = (12) - (4) + (3)

A = (12{4}) + (3) = (3) + (3) = 2(3)

Exemple : transformer un produit : Simplifier B = (50) + (2).

B = (50 2) = (100) = (10^2) = 2(10)

3. Relation fondamentale exp / ln

Identités fondamentales : Pour tout x > 0 : e^{(x)} = x

Pour tout x R : (e^x) = x

Méthode : résoudre (f(x)) = k : (f(x)) = k f(x) = e^k (avec la condition f(x) > 0).

4. Dérivée de la fonction ln

Dérivée de : La fonction est dérivable sur ]0 ; +[ et :

[formule]

**Plus généralement, si u est une fonction dérivable et strictement positive :

[formule]

Exemple : Soit f(x) = (x^2 + 1).

On pose u(x) = x^2 + 1 > 0 pour tout x, donc u'(x) = 2x.

[formule]

Exemple : Soit g(x) = (3x - 5), définie pour x > 5{3}.

u(x) = 3x - 5, u'(x) = 3.

[formule]

5. Sens de variation et courbe

Variations de : La fonction est strictement croissante sur ]0 ; +[.

En effet, ( x)' = 1{x} > 0 pour tout x > 0.

Conséquences pour les comparaisons : Pour a > 0 et b > 0 :

• (a) = (b) a = b
• (a) < (b) a < b
• (a) > 0 a > 1
• (a) < 0 0 < a < 1

6. Limites

Limites aux bornes : [formule]

[formule]

Croissance comparée : Le logarithme croît moins vite que toute puissance de x :

[formule]

[formule]

Attention : (x){x} 0 est une forme indéterminée +{+} qu'il faut connaître par cœur. La puissance « l'emporte » sur le logarithme.

Exemple : utiliser la croissance comparée : Calculer _{x +} (x){x}.

On écrit (x){x} = (x){x} x{x} = (x){x} x.

Mais il est plus simple de poser t = x, x = t^2, quand x +, t + :

(x){x} = (t^2){t} = 2(t){t} 0.

7. Équations et inéquations logarithmiques

Méthode : résoudre des équations avec :

1. Déterminer le domaine de validité (arguments > 0).

2. Utiliser les propriétés : (a) = (b) a = b (avec a > 0, b > 0).

3. Vérifier que la solution est dans le domaine.

Exemple : équation : Résoudre (2x - 1) = (x + 3).

Domaine : 2x - 1 > 0 et x + 3 > 0, soit x > 1{2}.

(2x - 1) = (x + 3) 2x - 1 = x + 3 x = 4.

4 > 1{2} ✓. Solution : S = {4}.

Exemple : inéquation : Résoudre (x) 2.

(x) 2 x e^2 (car est croissante).

Solution : S = [e^2 ; +[.

8. Études de fonctions avec

Méthode : étudier f(x) = (u(x)) :

1. Domaine : résoudre u(x) > 0.

2. Dérivée : f'(x) = u'(x){u(x)}.

3. Signe de f' : étudier le signe de u'(x) (car u(x) > 0).

4. Limites aux bornes du domaine.

Exemple complet : Étudier f(x) = (x^2 - 4).

Domaine : x^2 - 4 > 0 x < -2 ou x > 2, soit D_f = ]- ; -2[ ]2 ; +[.

Dérivée : f'(x) = 2x{x^2 - 4}.

• Sur ]2 ; +[ : 2x > 0 et x^2 - 4 > 0, donc f'(x) > 0 : f croissante.
• Sur ]- ; -2[ : 2x < 0 et x^2 - 4 > 0, donc f'(x) < 0 : f décroissante.

Limites : _{x 2^+} f(x) = (0^+) = - et _{x +} f(x) = +.

À retenir

Résumé :

1. est la réciproque de : y = (x) x = e^y

2. (ab) = a + b, (a/b) = a - b, (a^n) = n a

3. ( x)' = 1{x} et ( u)' = u'{u}

4. est strictement croissante sur ]0 ; +[

5. x{x} 0 et x x 0 (croissance comparée)

6. (a) = (b) a = b (pour a, b > 0)