Applications de la dérivation

Compléments sur la dérivation — Terminale Spécialité

Applications de la dérivation

1. Étude complète de fonctions

Marche à suivre pour une étude complète : Pour étudier complètement une fonction f, on suit les étapes suivantes :

  1. Domaine de définition D_f : déterminer l'ensemble des valeurs de x où f(x) existe

  2. Limites aux bornes de D_f : calculer les limites en et aux bornes finies

  3. Dérivée : calculer f'(x)

  4. Signe de f' et tableau de variations

  5. Dérivée seconde f''(x) : étude de la convexité et des points d'inflexion

  6. Points remarquables : extremums, points d'inflexion, intersections avec les axes

  7. Tracé de la courbe C_f

Exemple 1 : étude complète : Soit f(x) = x^2{x - 1}.

Étape 1 – Domaine : D_f = R {1}.

Étape 2 – Limites :

_{x 1^-} f(x) = 1{0^-} = - et _{x 1^+} f(x) = 1{0^+} = +.

La droite x = 1 est asymptote verticale.

Pour x : on effectue la division euclidienne.

f(x) = x^2{x-1} = x + 1 + 1{x - 1}

Donc _{x } (f(x) - (x + 1)) = 0 : la droite y = x + 1 est asymptote oblique.

Étape 3 – Dérivée :

f'(x) = 2x(x-1) - x^2 1{(x-1)^2} = x^2 - 2x{(x-1)^2} = x(x - 2){(x - 1)^2}

Étape 4 – Signe de f' et variations :

Le dénominateur (x-1)^2 > 0. Le numérateur x(x-2) = 0 pour x = 0 ou x = 2.

x - 0 1 2 +
f'(x) + 0 - ‖ - 0 +
f ↗ 0 ↘ ‖ ↘ 4 ↗

Maximum local en x = 0 : f(0) = 0. Minimum local en x = 2 : f(2) = 4.

Étape 5 – Convexité :

f'(x) = x^2 - 2x{(x-1)^2}

f''(x) = (2x-2)(x-1)^2 - (x^2-2x) 2(x-1){(x-1)^4} = 2{(x-1)^3}

  • Pour x > 1 : f''(x) > 0, f convexe
  • Pour x < 1 : f''(x) < 0, f concave

Pas de point d'inflexion (f'' ne s'annule jamais).

2. Dérivée et approximation locale

Approximation affine : Si f est dérivable en a, alors pour h proche de 0 :

[formule]

De manière équivalente, pour x proche de a :

[formule]

Cette approximation est appelée approximation affine (ou linéarisation) de f au voisinage de a.

Approximation affine : La fonction x f(a) + f'(a)(x - a) est l'approximation affine de f au voisinage de a.

Son graphe est la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Interprétation : L'approximation affine revient à remplacer localement la courbe par sa tangente. Plus x est proche de a, meilleure est l'approximation.

Exemple 2 : approximation de x : On veut estimer 4{,1} sans calculatrice.

Soit f(x) = x, a = 4, h = 0{,}1.

f(a) = 4 = 2, f'(x) = 1{2x}, f'(4) = 1{4}.

[formule]

Valeur exacte : 4{,1} 2{,}0248. L'erreur est inférieure à 0{,}001.

Exemple 3 : approximation de (x) : On veut estimer (0{,}1).

Soit f(x) = (x), a = 0, h = 0{,}1.

f(0) = 1, f'(x) = -(x), f'(0) = 0.

[formule]

Valeur exacte : (0{,}1) 0{,}9950. L'erreur est d'environ 0{,}005.

Approximations classiques au voisinage de 0 : Pour h proche de 0 :

Fonction Approximation
(1 + h)^n 1 + nh
1{1 + h} 1 - h
1 + h 1 + h{2}
e^h 1 + h
(1 + h) h
(h) h
(h) 1

3. Théorème de Rolle

Théorème de Rolle : Soit f une fonction :

  • continue sur [a ; b]
  • dérivable sur ]a ; b[
  • telle que f(a) = f(b)

Alors il existe au moins un réel c ,]a ; b[ tel que :

[formule]

Interprétation géométrique : Si une courbe continue part d'un point et revient à la même hauteur, alors il existe un point intermédiaire où la tangente est horizontale.

Exemple 4 : Soit f(x) = x^3 - 3x sur [-3 ; 3].

f(-3) = -33 + 33 = 0 et f(3) = 33 - 33 = 0.

Les hypothèses du théorème de Rolle sont vérifiées (f polynôme, f(-3) = f(3) = 0).

f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 x = 1.

On trouve bien c_1 = -1 et c_2 = 1 dans ]-3 ; 3[ tels que f'(c) = 0.

4. Théorème des accroissements finis

Théorème des accroissements finis (TAF) : Soit f une fonction :

  • continue sur [a ; b]
  • dérivable sur ]a ; b[

Alors il existe au moins un réel c ,]a ; b[ tel que :

[formule]

Interprétation géométrique : Le taux d'accroissement moyen entre a et b est atteint comme valeur de la dérivée en au moins un point intermédiaire c.

Autrement dit, il existe un point où la tangente est parallèle à la corde reliant (a ; f(a)) et (b ; f(b)).

Lien avec le théorème de Rolle : Le théorème des accroissements finis généralise le théorème de Rolle.

En effet, si f(a) = f(b), alors f(b) - f(a){b - a} = 0, et on retrouve exactement le théorème de Rolle.

Exemple 5 : Soit f(x) = x^2 sur [1 ; 3].

f(3) - f(1){3 - 1} = 9 - 1{2} = 4

f'(x) = 2x. On cherche c tel que f'(c) = 4 : 2c = 4 c = 2 ,]1 ; 3[.

Le point (2 ; 4) est le point où la tangente est parallèle à la corde.

Application : encadrement par le TAF : Si m f'(x) M pour tout x [a ; b], alors :

[formule]

Cet encadrement est très utile pour majorer ou minorer les variations d'une fonction.

Exemple 6 : encadrement de (1{,}2) : Soit f(x) = (x) sur [1 ; 1{,}2]. On a f'(x) = 1{x}.

Sur [1 ; 1{,}2] : 1{1{,}2} f'(x) 1{1} = 1.

Par le TAF : 1{1{,}2} 0{,}2 (1{,}2) - (1) 1 0{,}2

[formule]

Soit environ 0{,}1667 (1{,}2) 0{,}2. (Valeur exacte : (1{,}2) 0{,}1823.)

À retenir

Résumé :

  1. Étude complète : domaine → limites → f'(x) → signe et variations → f''(x) → convexité → points remarquables → courbe

  2. Approximation affine : f(a + h) f(a) + h f'(a) pour h proche de 0

  3. Approximations classiques : (1+h)^n 1 + nh, e^h 1 + h, (1+h) h, (h) h

  4. Théorème de Rolle : si f continue sur [a;b], dérivable sur ]a;b[, et f(a) = f(b), alors , c ,]a;b[ tel que f'(c) = 0

  5. TAF : sous les mêmes conditions de régularité, , c ,]a;b[ tel que f'(c) = f(b)-f(a){b-a}

  6. Encadrement par le TAF : si m f'(x) M sur [a;b], alors m(b-a) f(b)-f(a) M(b-a)