Convexité et concavité

1. Définition de la convexité avec les sécantes

Fonction convexe – définition par les sécantes : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

f est convexe sur I si, pour tous a, b I et tout t [0 ; 1] :

[formule]

Géométriquement, cela signifie que la courbe de f est située en dessous de chaque corde (sécante) reliant deux points de la courbe.

Fonction concave – définition par les sécantes : f est concave sur I si, pour tous a, b I et tout t [0 ; 1] :

[formule]

Géométriquement, la courbe est située au-dessus de chaque corde.

Moyen mnémotechnique :

• Convexe : la courbe fait un creux (∪) — elle « creuse » sous les cordes
• Concave : la courbe fait une bosse (∩) — elle « couvre » les cordes

Exemple 1 : fonctions classiques :

• f(x) = x^2 est convexe sur R (parabole tournée vers le haut).
• f(x) = -x^2 est concave sur R (parabole tournée vers le bas).
• f(x) = (x) est concave sur ]0 ; +[.
• f(x) = e^x est convexe sur R.

2. Convexité et dérivée seconde

Caractérisation par f'' : Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.

• f est convexe sur I f''(x) 0 pour tout x I

• f est concave sur I f''(x) 0 pour tout x I

Méthode : étudier la convexité d'une fonction :

1. Calculer f'(x) puis f''(x)

2. Résoudre f''(x) = 0 pour trouver les valeurs charnières

3. Étudier le signe de f'' sur chaque intervalle

4. Conclure : f''(x) 0 convexe, f''(x) 0 concave

Exemple 2 : Soit f(x) = x^3 - 3x.

f'(x) = 3x^2 - 3 et f''(x) = 6x.

• Pour x < 0 : f''(x) < 0, donc f est concave sur ]- ; 0].
• Pour x > 0 : f''(x) > 0, donc f est convexe sur [0 ; +[.

Exemple 3 : Soit g(x) = e^x.

g'(x) = e^x et g''(x) = e^x > 0 pour tout x R.

Donc g est convexe sur R.

3. Point d'inflexion

Point d'inflexion : Un point A(a ; f(a)) de la courbe de f est un point d'inflexion si la courbe change de convexité en ce point :

• elle passe de concave à convexe, ou
• elle passe de convexe à concave.

Au point d'inflexion, la tangente traverse la courbe.

Caractérisation par f'' : Si f est deux fois dérivable et si :

1. f''(a) = 0
2. f'' change de signe en a

alors le point (a ; f(a)) est un point d'inflexion de la courbe de f.

Attention : La condition f''(a) = 0 est nécessaire mais pas suffisante.

Contre-exemple : f(x) = x^4 vérifie f''(0) = 0 mais f''(x) = 12x^2 0 pour tout x. Il n'y a pas de changement de signe, donc pas de point d'inflexion en 0.

Exemple 4 : Soit f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2.

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 et f''(x) = 6x - 12.

f''(x) = 0 x = 2.

• Pour x < 2 : f''(x) < 0 (concave)
• Pour x > 2 : f''(x) > 0 (convexe)

f'' change de signe en x = 2, donc le point (2 ; f(2)) = (2 ; 4) est un point d'inflexion.

Méthode : trouver les points d'inflexion :

1. Calculer f''(x)

2. Résoudre f''(x) = 0

3. Dresser le tableau de signes de f''

4. Identifier les valeurs où f'' change de signe

5. Calculer les coordonnées (a ; f(a)) de chaque point d'inflexion

4. Position relative de la courbe et de ses tangentes

Courbe et tangentes : Soit f deux fois dérivable sur un intervalle I.

• Si f est convexe sur I : la courbe C_f est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur I.

[formule]

• Si f est concave sur I : la courbe C_f est située en dessous de chacune de ses tangentes sur I.

[formule]

Interprétation géométrique :

• Convexe : la tangente « soutient » la courbe par en dessous — la courbe s'éloigne de la tangente vers le haut.
• Concave : la tangente « coiffe » la courbe par au-dessus — la courbe s'éloigne de la tangente vers le bas.
• Au point d'inflexion, la tangente traverse la courbe.

Exemple 5 : La fonction f(x) = e^x est convexe sur R.

La tangente en (0 ; 1) a pour équation y = x + 1.

On a alors pour tout x R :

[formule]

Cette inégalité classique découle directement de la convexité de l'exponentielle.

Exemple 6 : La fonction f(x) = (x) est concave sur ]0 ; +[.

La tangente en (1 ; 0) a pour équation y = x - 1.

On a alors pour tout x > 0 :

[formule]

5. Inégalité de convexité (inégalité de Jensen)

Inégalité de Jensen : Si f est convexe sur un intervalle I, alors pour tous x_1, x_2, , x_n I et tous coefficients _1, _2, , _n 0 tels que _1 + _2 + + _n = 1 :

[formule]

L'inégalité est renversée si f est concave.

Exemple 7 : application de Jensen : Comme f(x) = x^2 est convexe, on peut écrire pour _1 = _2 = 1{2} :

[formule]

soit (a+b)^2{4} a^2 + b^2{2}, ce qui redonne l'inégalité classique :

[formule]

Exemple 8 : inégalité arithmético-géométrique : Comme f(x) = -(x) est convexe sur ]0 ; +[, l'inégalité de Jensen avec _i = 1{n} donne :

[formule]

Après simplification :

[formule]

C'est l'inégalité arithmético-géométrique : la moyenne géométrique est inférieure ou égale à la moyenne arithmétique.

6. Applications

Optimisation et convexité

Rôle de la convexité en optimisation :

• Si f est convexe sur I et f'(a) = 0, alors a est un minimum global de f sur I.

• Si f est concave sur I et f'(a) = 0, alors a est un maximum global de f sur I.

La convexité garantit qu'un extremum local est automatiquement un extremum global.

Exemple 9 : Soit f(x) = x^2 - 4x + 7 sur R.

f'(x) = 2x - 4 = 0 x = 2 et f''(x) = 2 > 0 : f est convexe sur R.

Donc x = 2 donne un minimum global : f(2) = 4 - 8 + 7 = 3.

Position relative courbe / tangente

Encadrement par les tangentes : Pour une fonction convexe deux fois dérivable, on peut encadrer f(x) :

[formule]

Cela permet d'obtenir des minorations de f(x) à l'aide de la tangente.

Réciproquement, pour une fonction concave, on obtient des majorations.

Exemple 10 : En utilisant la convexité de e^x et la tangente en x = 0 :

[formule]

En particulier, pour x = 0{,}1 : e^{0,1} 1{,}1.

La valeur exacte est e^{0,1} 1{,}1052, donc la minoration est correcte et assez précise.

À retenir

Résumé :

1. f est convexe sur I si sa courbe est sous chaque corde : f(ta + (1-t)b) tf(a) + (1-t)f(b)

2. f est convexe sur I f''(x) 0 sur I ; f est concave f''(x) 0

3. Point d'inflexion : f''(a) = 0 avec changement de signe de f'' en a ; la tangente traverse la courbe

4. Convexe courbe au-dessus de ses tangentes ; concave courbe en dessous

5. Inégalité de Jensen : si f convexe, f(_1 x_1 + + _n x_n) _1 f(x_1) + + _n f(x_n)

6. Convexe + f'(a) = 0 minimum global ; concave + f'(a) = 0 maximum global

7. Inégalités classiques : e^x 1 + x (convexité de e^x) et (x) x - 1 (concavité de )