Compléments sur la dérivation
1. Dérivée d'une fonction composée
Dérivée de f(ax + b) : Si u(x) = ax + b et f est dérivable, alors la fonction g(x) = f(ax + b) est dérivable et :
[formule]
Règle de la chaîne (cas général) : Si g = f u (c'est-à-dire g(x) = f(u(x))), et si u est dérivable en x et f est dérivable en u(x), alors :
[formule]
On écrit aussi (f u)' = u' (f' u).
Dérivées de fonctions composées usuelles :
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| u^n | n u' u^{n-1} | u dérivable |
| 1{u} | -u'{u^2} | u 0 |
| u | u'{2u} | u > 0 |
Exemple 1 : f(x) = (3x^2 + 1)^5. On pose u(x) = 3x^2 + 1, donc u'(x) = 6x.
[formule]
Exemple 2 : g(x) = 2x + 5. On pose u(x) = 2x + 5, donc u'(x) = 2.
[formule]
Exemple 3 : h(x) = 1{x^2 + 1}. On pose u(x) = x^2 + 1, donc u'(x) = 2x.
[formule]
2. Dérivée seconde
Dérivée seconde : Si f' est elle-même dérivable, on appelle dérivée seconde de f la fonction notée f'' :
[formule]
Exemple : f(x) = x^4 - 3x^2 + 2x.
f'(x) = 4x^3 - 6x + 2.
f''(x) = 12x^2 - 6.
3. Convexité et concavité
Fonction convexe : f est convexe sur un intervalle I si sa courbe est située au-dessous de chacune de ses cordes (segments reliant deux points de la courbe).
Autrement dit, pour tous a, b I et tout t [0 ; 1] :
[formule]
Fonction concave : f est concave sur un intervalle I si sa courbe est située au-dessus de chacune de ses cordes.
Convexité et dérivée seconde : Soit f deux fois dérivable sur un intervalle I :
f est convexe sur I f''(x) 0 pour tout x I
f est concave sur I f''(x) 0 pour tout x I
Moyen mnémotechnique :
- Convexe : la courbe est en forme de creux (∪ comme « convexe »)
- Concave : la courbe est en forme de bosse (∩ comme « concave »)
Convexité et tangentes :
- f est convexe sur I la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes sur I
f est concave sur I la courbe est en dessous de toutes ses tangentes sur I
Exemple : f(x) = x^3.
f'(x) = 3x^2 et f''(x) = 6x.
- f''(x) 0 pour x 0 : f est convexe sur [0 ; +[.
- f''(x) 0 pour x 0 : f est concave sur ]- ; 0].
4. Point d'inflexion
Point d'inflexion : Un point A(a ; f(a)) est un point d'inflexion de la courbe de f si la courbe change de convexité en ce point : elle passe de convexe à concave, ou de concave à convexe.
Caractérisation par f'' : Si f''(a) = 0 et f'' change de signe en a, alors le point (a ; f(a)) est un point d'inflexion.
Au point d'inflexion, la tangente traverse la courbe.
Attention : f''(a) = 0 ne suffit pas ! Il faut que f'' change de signe. Par exemple, pour f(x) = x^4 : f''(0) = 0 mais f''(x) = 12x^2 0 partout, donc pas de point d'inflexion en 0.
Exemple : f(x) = x^3 - 3x^2 + 2.
f'(x) = 3x^2 - 6x et f''(x) = 6x - 6.
f''(x) = 0 x = 1.
- Pour x < 1 : f''(x) < 0 (concave).
- Pour x > 1 : f''(x) > 0 (convexe).
f'' change de signe en x = 1 : le point (1 ; f(1)) = (1 ; 0) est un point d'inflexion.
5. Optimisation
Méthode : résoudre un problème d'optimisation :
Modéliser : identifier la variable x et la fonction f(x) à optimiser, ainsi que le domaine de x
Dériver : calculer f'(x)
Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les points critiques
Étudier le signe de f' pour confirmer maximum ou minimum
Conclure en donnant la valeur optimale et la valeur de x correspondante
Exemple : optimisation d'aire : On dispose d'un fil de 20 cm pour former un rectangle. Quelles dimensions maximisent l'aire ?
Soit x la largeur. Le périmètre vaut 2x + 2y = 20, donc y = 10 - x avec 0 < x < 10.
A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2.
A'(x) = 10 - 2x. A'(x) = 0 x = 5.
A''(x) = -2 < 0 : A est concave, donc x = 5 donne un maximum.
A(5) = 5 5 = 25 cm². Le rectangle optimal est un carré de côté 5 cm.
Exemple : optimisation d'une fonction composée : Soit f(x) = x{x^2 + 4} pour x > 0. Trouver le maximum de f.
f'(x) = 1 (x^2+4) - x 2x{(x^2+4)^2} = 4 - x^2{(x^2+4)^2}
f'(x) = 0 x^2 = 4 x = 2 (car x > 0).
Pour 0 < x < 2 : f'(x) > 0, pour x > 2 : f'(x) < 0. Maximum en x = 2.
f(2) = 2{4 + 4} = 1{4}.
À retenir
Résumé :
(f u)' = u' (f' u) : en particulier (u^n)' = nu'u^{n-1}, (u)' = u'{2u}
f''(x) 0 ⟹ f convexe ; f''(x) 0 ⟹ f concave
Point d'inflexion : f''(a) = 0 et f'' change de signe en a
La tangente en un point d'inflexion traverse la courbe
Optimisation : dériver, annuler, vérifier le signe de f' (ou f'')