Continuité et TVI : approfondissement

1. Prolongement par continuité

Prolongement par continuité : Soit f une fonction définie sur un intervalle I sauf en un point a I. Si _{x a} f(x) = existe et est finie, on peut prolonger f par continuité en a en posant :

[formule]

La fonction f est alors continue en a.

Quand le prolongement est impossible :

• Si la limite en a n'existe pas (limites à gauche et à droite différentes), on ne peut pas prolonger par continuité.
• Si la limite est infinie (), on ne peut pas prolonger par continuité.

Exemple 1 : f(x) = (x){x} définie pour x 0.

_{x 0} (x){x} = 1 (limite classique).

On prolonge : f(x) = cases (x){x} & si x 0 1 & si x = 0 cases

f est continue en 0.

Exemple 2 : g(x) = x^2 - 4{x - 2} définie pour x 2.

On factorise : g(x) = (x-2)(x+2){x-2} = x + 2 pour x 2.

_{x 2} g(x) = 4.

On prolonge par continuité en posant g(2) = 4, soit g(x) = x + 2 pour tout x R.

Méthode : prolongement par continuité :

1. Identifier le point a où f n'est pas définie.

2. Calculer _{x a} f(x) (lever l'indétermination si nécessaire).

3. Si la limite existe et est finie, poser f(a) = .

4. Vérifier que f est bien continue en a : _{x a} f(x) = f(a) = .

2. Image d'un intervalle par une fonction continue

Image d'un segment par une fonction continue : Si f est continue sur un segment [a ; b], alors f([a ; b]) est un segment.

Plus précisément, si m et M sont le minimum et le maximum de f sur [a ; b] :

[formule]

Autrement dit, f prend toutes les valeurs entre son minimum et son maximum.

Lien avec le TVI : Ce théorème est une conséquence directe du théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a ; b], elle prend toutes les valeurs intermédiaires entre f(a) et f(b), et donc toutes les valeurs entre m et M.

Exemple : f(x) = x^2 sur [-1 ; 3].

• f(-1) = 1, f(3) = 9, f(0) = 0 (minimum atteint en x = 0).
• m = 0 (minimum) et M = 9 (maximum, atteint en x = 3).
• Donc f([-1 ; 3]) = [0 ; 9].

Image d'un intervalle quelconque : Si f est continue sur un intervalle I, alors f(I) est aussi un intervalle.

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle (pas forcément de même nature : un intervalle ouvert peut avoir une image fermée, etc.).

3. Dichotomie : approcher une solution

Méthode de dichotomie : La dichotomie est une méthode pour approcher une solution de f(x) = 0 en divisant l'intervalle en deux à chaque étape.

Elle utilise le TVI de manière itérative pour resserrer l'encadrement.

Algorithme de dichotomie : Données : f continue sur [a ; b] avec f(a) f(b) < 0.

But : trouver un encadrement de la solution c de f(x) = 0 à la précision près.

1. Calculer m = a + b{2} (milieu de l'intervalle).

2. Calculer f(m).

3. Si f(a) f(m) < 0, la solution est dans [a ; m] : poser b = m.

4. Si f(a) f(m) > 0, la solution est dans [m ; b] : poser a = m.

5. Si f(m) = 0, on a trouvé la solution exacte : c = m.

6. Répéter tant que b - a > .

Exemple : f(x) = x^3 + x - 1 sur [0 ; 1 :] On a f(0) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0. Par le TVI, il existe c ]0 ; 1[ tel que f(c) = 0.

Étape 1 : m = 0{,}5, f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375 < 0. Solution dans [0{,}5 ; 1].

Étape 2 : m = 0{,}75, f(0{,}75) = 0{,}4219 + 0{,}75 - 1 = 0{,}1719 > 0. Solution dans [0{,}5 ; 0{,}75].

Étape 3 : m = 0{,}625, f(0{,}625) -0{,}131 < 0. Solution dans [0{,}625 ; 0{,}75].

Étape 4 : m = 0{,}6875, f(0{,}6875) 0{,}013 > 0. Solution dans [0{,}625 ; 0{,}6875].

On a un encadrement : 0{,}625 < c < 0{,}6875, soit c 0{,}68 à 0{,}1 près.

Nombre d'étapes : À chaque étape, la longueur de l'intervalle est divisée par 2. Après n étapes :

[formule]

Pour une précision : n ({b-a{})}{(2)}.

Par exemple, pour [0 ; 1] et = 10^{-2} : n (100){(2)} 6{,}6, soit 7 étapes.

4. Bijection et fonction réciproque

Théorème de la bijection : Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors :

1. f réalise une bijection de [a ; b] sur [f(a) ; f(b)] (si f est croissante) ou sur [f(b) ; f(a)] (si f est décroissante).

2. Pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a ; b].

Fonction réciproque : Quand f est une bijection de I sur J, on peut définir la fonction réciproque f^{-1} de J dans I telle que :

[formule]

La fonction réciproque f^{-1} est aussi continue et strictement monotone (de même sens que f).

Exemple : f(x) = x^3 sur R : f(x) = x^3 est continue et strictement croissante sur R.

f est une bijection de R sur R.

Sa fonction réciproque est f^{-1}(y) = [3]{y} = y^{1/3}.

Pour tout k R, l'équation x^3 = k admet une unique solution : x = [3]{k}.

Exemple : f(x) = e^x sur R : f(x) = e^x est continue et strictement croissante sur R.

f est une bijection de R sur ]0 ; +[.

Sa fonction réciproque est f^{-1} = : bijection de ]0 ; +[ sur R.

Graphique de f^{-1} : La courbe de f^{-1} est le symétrique de la courbe de f par rapport à la droite y = x.

En effet, (a, b) est sur la courbe de f f(a) = b f^{-1}(b) = a (b, a) est sur la courbe de f^{-1}.

À retenir

Résumé :

1. Prolongement par continuité : si _{x a} f(x) = (fini), on pose f(a) = pour rendre f continue en a.

2. L'image d'un segment [a ; b] par une fonction continue est un segment [m ; M].

3. La dichotomie approche une solution de f(x) = 0 en divisant l'intervalle par 2 à chaque étape : m = a+b{2}, puis on teste le signe de f(a) f(m).

4. Après n étapes de dichotomie, la précision est b - a{2^n}.

5. Bijection : si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], alors f réalise une bijection de [a ; b] sur [f(a) ; f(b)].

6. La fonction réciproque f^{-1} vérifie f^{-1}(y) = x f(x) = y. Sa courbe est symétrique de celle de f par rapport à y = x.