Asymptotes obliques et croissances comparées

1. Asymptotes obliques

Asymptote oblique : On dit que la droite y = ax + b est une asymptote oblique à la courbe de f en + (resp. -) si :

[formule]

Autrement dit, la courbe de f se rapproche de la droite y = ax + b quand x +.

Méthode : déterminer une asymptote oblique : Pour trouver l'asymptote oblique y = ax + b en + :

Calculer a = _{x +} f(x){x}
Calculer b = _{x +} [f(x) - ax]
Si a et b sont des réels finis (et a 0), alors y = ax + b est asymptote oblique.

Attention :

Si a = 0 et b = fini, c'est une asymptote horizontale y = .
Si a ou b n'est pas fini, il n'y a pas d'asymptote oblique.
Une courbe peut avoir des asymptotes obliques différentes en + et en -.

Exemple 1 : Soit f(x) = 2x^2 + 3x - 1{x + 1} définie pour x -1.

Étape 1 : f(x){x} = 2x^2 + 3x - 1{x(x + 1)} = 2x^2 + 3x - 1{x^2 + x}

On factorise par x^2 : 2 + {3{x} - 1{x^2}}{1 + 1{x}} [x +]{} 2{1} = 2, donc a = 2.

Étape 2 : f(x) - 2x = 2x^2 + 3x - 1{x + 1} - 2x = 2x^2 + 3x - 1 - 2x(x+1){x+1} = x - 1{x + 1}

x - 1{x + 1} = 1 - {1{x}}{1 + 1{x}} [x +]{} 1, donc b = 1.

Conclusion : La droite y = 2x + 1 est asymptote oblique à la courbe de f en .

Division euclidienne : Pour une fonction rationnelle f(x) = P(x){Q(x)} avec P = Q + 1, on effectue la division euclidienne de P par Q :

[formule]

Si _{x } R(x){Q(x)} = 0, alors y = ax + b est asymptote oblique.

Exemple 2 : par division euclidienne : f(x) = 2x^2 + 3x - 1{x + 1}.

On effectue la division : 2x^2 + 3x - 1 = (x + 1)(2x + 1) + (-2).

Donc f(x) = 2x + 1 + -2{x + 1}.

Or _{x } -2{x+1} = 0, d'où l'asymptote oblique y = 2x + 1.

2. Asymptotes d'une fonction rationnelle : résumé

Méthode : asymptotes d'une fraction rationnelle P(x){Q(x)} : Soit f(x) = P(x){Q(x)} avec P et Q polynômes.

Asymptotes verticales : chercher les valeurs a qui annulent Q(x) sans annuler P(x), puis étudier les limites à gauche et à droite de a.
Asymptote horizontale ( P Q) : calculer _{x } f(x).
Asymptote oblique ( P = Q + 1) : effectuer la division euclidienne ou utiliser la méthode a, b.
**Pas d'asymptote en ** si P > Q + 1 (branche parabolique).

3. Croissances comparées

Croissance comparée : Comparer la croissance de deux fonctions, c'est déterminer laquelle « l'emporte » sur l'autre en +.

L'ordre de croissance est : logarithme puissances exponentielle.

[formule]

Croissances comparées fondamentales : Pour tout entier n 1 :

[formule]

Interprétation :

(x){x^n} 0 signifie que toute puissance de x l'emporte sur (x).
e^x{x^n} + signifie que l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x.
Ces résultats sont à connaître par cœur : ils sont admis et utilisés comme outils de calcul.

Exemple : _{x +} (x){x} : On écrit (x){x} = (x){x^{1/2}}.

C'est de la forme (x){x^n} avec n = 1{2} > 0.

Par croissances comparées : _{x +} (x){x} = 0.

Exemple : _{x +} e^x{x^3 + 2x} : Pour x assez grand, x^3 + 2x 2x^3, donc e^x{x^3 + 2x} e^x{2x^3}.

Or _{x +} e^x{x^3} = + par croissances comparées.

Donc _{x +} e^x{x^3 + 2x} = +.

4. Méthodes de calcul avec les croissances comparées

Méthode : lever une FI avec les croissances comparées : Quand on a une forme indéterminée mêlant , e^x et des puissances :

Identifier le terme dominant en utilisant l'ordre x^n e^x.
Factoriser par le terme dominant pour faire apparaître un quotient de croissances comparées.
Appliquer le théorème pour conclure.

Exemple : _{x +} (x^2 - e^x) : C'est une FI + - . On factorise par e^x (le terme dominant) :

[formule]

Or _{x +} x^2{e^x} = 0 (croissances comparées), donc la parenthèse 0 - 1 = -1.

Comme e^x + : _{x +} (x^2 - e^x) = -.

Exemple : _{x +} x^2 (x) - x^3 : On factorise par x^3 (puissance la plus élevée) :

[formule]

Or _{x +} (x){x} = 0, donc la parenthèse 0 - 1 = -1.

Comme x^3 + : _{x +} (x^2 (x) - x^3) = -.

Exemple : _{x 0^+} x^2 (x) : On sait que _{x 0^+} x (x) = 0. Or x^2 (x) = x (x (x)).

_{x 0^+} x = 0 et _{x 0^+} x(x) = 0, donc par produit :

[formule]

5. Tableau récapitulatif des croissances comparées

Limites de référence à connaître :

Limite	Valeur	Justification
_{x +} (x){x}	0	x l'emporte sur (x)
_{x +} (x){x^n} (n > 0)	0	Toute puissance l'emporte sur
_{x +} e^x{x^n} (n N)	+	e^x l'emporte sur toute puissance
_{x 0^+} x (x)	0	Changement de variable x = 1{t}
_{x 0^+} x^n (x) (n > 0)	0	Généralisation
_{x -} x^n e^x (n N)	0	Changement de variable x = -t

À retenir

Résumé :

Asymptote oblique y = ax + b : a = f(x){x} et b = [f(x) - ax], avec [f(x) - (ax+b)] = 0.
Pour une fraction rationnelle, la division euclidienne donne directement l'asymptote oblique.
Ordre de croissance : (x) x^n e^x en +.
_{x +} (x){x^n} = 0 pour tout n > 0 : toute puissance l'emporte sur le logarithme.
_{x +} e^x{x^n} = + pour tout n N : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.
_{x 0^+} x^n (x) = 0 et _{x -} x^n e^x = 0 : limites de référence en 0^+ et -.
Pour lever une FI, factoriser par le terme dominant et appliquer les théorèmes de croissances comparées.