Limites et continuité
1. Limites en l'infini
Limite finie en + : On dit que f(x) admet la **limite ** quand x tend vers + si tout intervalle ouvert contenant contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand. On note :
[formule]
Graphiquement, la courbe de f se rapproche de la droite y = .
Limite infinie en + : On dit que f(x) tend vers + quand x tend vers + si f(x) dépasse tout réel M pour x assez grand :
[formule]
Limites de référence :
| Fonction | _{x +} | _{x -} |
|---|---|---|
| x^n (n 1) | + | (-1)^n |
| 1{x} | 0 | 0 |
| 1{x^n} (n 1) | 0 | 0 |
| x | + | — |
Exemple : f(x) = 3x^2 + 1{x^2 - 4}. On factorise par le terme de plus haut degré :
[formule]
[formule]
2. Limites en un point
Limite finie en un point : On dit que f(x) admet la **limite ** quand x tend vers a si f(x) est aussi proche de que l'on veut, pourvu que x soit suffisamment proche de a (sans être égal à a) :
[formule]
Limite infinie en un point : On dit que f(x) tend vers + quand x tend vers a si f(x) dépasse tout réel M pour x assez proche de a. On note :
[formule]
Limites à gauche et à droite : Il est parfois nécessaire de distinguer les limites à gauche et à droite :
[formule]
f admet une limite en a si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.
Exemple : f(x) = 1{x - 2}.
- _{x 2^+} f(x) = + (car x - 2 > 0 et 0)
- _{x 2^-} f(x) = - (car x - 2 < 0 et 0)
La limite en 2 n'existe pas (limites à gauche et à droite différentes).
3. Opérations sur les limites
Limite d'une somme :
| f | + | + | - | + | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| g | ' | + | + | - | - | - |
| (f+g) | + ' | + | + | FI | - | FI |
FI** = Forme Indéterminée - .
Limite d'un produit :
| f | > 0 | < 0 | + | + | 0 |
|---|---|---|---|---|---|
| g | ' | + | - | ||
| (fg) | ' | + | - | FI |
FI** = Forme Indéterminée 0 .
Limite d'un quotient :
| f | 0 | 0 | ||
|---|---|---|---|---|
| g | ' 0 | 0 | 0 | |
| (f/g) | /' | FI | FI |
FI** = Formes Indéterminées {} ou 0{0}.
4. Formes indéterminées
Les formes indéterminées : Il y a quatre formes indéterminées à reconnaître :
[formule]
Il faut alors transformer l'expression pour lever l'indétermination.
Méthodes pour lever une indétermination :
Factoriser par le terme dominant (pour les polynômes et fractions rationnelles en )
Factoriser par l'expression conjuguée (quand il y a des racines carrées)
Simplifier (quand x a et 0{0}, factoriser numérateur et dénominateur)
Utiliser le théorème des gendarmes
Lever {} : _{x +} 2x^3 - x + 5{x^3 + 3x^2}
On factorise par x^3 au numérateur et au dénominateur :
[formule]
Lever 0{0} : _{x 1} x^2 - 1{x - 1}
On factorise : (x-1)(x+1){x-1} = x + 1 [x 1]{} 2.
5. Asymptotes
Asymptote horizontale : Si _{x +} f(x) = (ou _{x -} f(x) = ), alors la droite y = est une asymptote horizontale à la courbe de f.
Asymptote verticale : Si _{x a^+} f(x) = ou _{x a^-} f(x) = , alors la droite x = a est une asymptote verticale à la courbe de f.
Exemple : f(x) = 2x + 1{x - 1} pour x 1.
- _{x +} f(x) = 2 et _{x -} f(x) = 2 → asymptote horizontale y = 2.
- _{x 1^+} f(x) = + et _{x 1^-} f(x) = - → asymptote verticale x = 1.
6. Théorème des gendarmes
Théorème des gendarmes (ou d'encadrement) : Si pour x assez grand (ou assez proche de a) :
[formule]
et si g(x) = h(x) = , alors f(x) = .
Exemple : Montrer que _{x +} (x){x} = 0.
Pour tout x > 0 : -1 (x) 1, donc -1{x} (x){x} 1{x}.
Or _{x +} -1{x} = 0 et _{x +} 1{x} = 0.
Par le théorème des gendarmes : _{x +} (x){x} = 0.
7. Continuité
Fonction continue en un point : f est continue en a si :
[formule]
Autrement dit, f est définie en a, la limite existe et est égale à la valeur de la fonction.
Fonction continue sur un intervalle : f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Fonctions continues usuelles : Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles (sur leur domaine), x, les fonctions trigonométriques, e^x, (x) sont continues sur leur domaine de définition.
Opérations et continuité :
- La somme, le produit, le quotient (dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus.
La composée de fonctions continues est continue.
8. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Théorème des valeurs intermédiaires : Si f est continue sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c [a ; b] tel que :
[formule]
Corollaire : théorème de la bijection : Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution dans [a ; b].
Méthode : montrer qu'une équation admet une solution : Pour montrer que f(x) = 0 admet une solution sur [a ; b] :
Vérifier que f est continue sur [a ; b]
Calculer f(a) et f(b)
Vérifier que f(a) et f(b) sont de signes contraires (c'est-à-dire f(a) f(b) < 0)
Conclure par le TVI : il existe c ]a ; b[ tel que f(c) = 0
Si f est strictement monotone, cette solution est unique
Exemple : Montrer que f(x) = x^3 + x - 1 admet une unique racine sur [0 ; 1].
- f est continue sur [0 ; 1] (polynôme).
- f(0) = -1 < 0 et f(1) = 1 > 0.
- f(0) f(1) < 0 : par le TVI, il existe c ]0 ; 1[ tel que f(c) = 0.
- f'(x) = 3x^2 + 1 > 0 pour tout x : f est strictement croissante.
- Donc cette racine est unique.
À retenir
Résumé :
_{x +} x^n = + et _{x +} 1{x^n} = 0
Formes indéterminées : + - , 0 , {}, 0{0}
Asymptote horizontale y = si _{x } f(x) = ; asymptote verticale x = a si _{x a} f(x) =
Théorème des gendarmes : g f h et g = h = ⟹ f =
f continue en a : _{x a} f(x) = f(a)
TVI : f continue, f(a) et f(b) de signes contraires ⟹ c, f(c) = 0