Espérance, variance et applications

Introduction

L'espérance et la variance sont les deux indicateurs fondamentaux d'une variable aléatoire. L'espérance donne la valeur moyenne attendue, et la variance mesure la dispersion des résultats. Ce chapitre approfondit leurs propriétés et montre comment les utiliser pour analyser des jeux de hasard et prendre des décisions sous incertitude.

1. Espérance mathématique

Espérance mathématique : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x_1, x_2, , x_n avec les probabilités p_1, p_2, , p_n.

L'espérance mathématique de X est :

[formule]

Interprétation : L'espérance E(X) représente la valeur moyenne de X lorsqu'on répète l'expérience un grand nombre de fois (loi des grands nombres).

Ce n'est pas forcément une valeur prise par X ! Par exemple, l'espérance du numéro d'un dé est 3{,}5.

Propriétés de l'espérance (linéarité)

Linéarité de l'espérance : Pour toute variable aléatoire X et tous réels a et b :

[formule]

En particulier :

E(X + b) = E(X) + b (translation)
E(aX) = a , E(X) (dilatation)

Exemple : Un commercial touche un salaire fixe de 1 500 € plus une commission de 50 € par vente. Le nombre de ventes X par mois vérifie E(X) = 12.

Son salaire mensuel est S = 50X + 1500.

E(S) = 50 E(X) + 1500 = 50 12 + 1500 = 2,100 €.

En moyenne, le commercial gagne 2 100 € par mois.

2. Variance et écart type

Variance : La variance de X mesure la dispersion des valeurs de X autour de son espérance :

[formule]

C'est la moyenne pondérée des carrés des écarts à l'espérance.

Formule de König-Huygens : La formule pratique pour calculer la variance est :

[formule]

où E(X^2) = _{i=1}^{n} x_i^2 , p_i.

Cette formule est souvent plus rapide à utiliser que la définition.

Écart type : L'écart type de X est :

[formule]

Il est exprimé dans la même unité que X, ce qui le rend plus facile à interpréter que la variance.

Propriétés de la variance

Propriété de la variance : Pour toute variable aléatoire X et tous réels a et b :

[formule]

Remarque : la translation par b ne change pas la variance ni l'écart type (la dispersion ne dépend pas du décalage).

Exemple : On sait que E(X) = 4 et V(X) = 9. Soit Y = 3X - 2.

E(Y) = 3 4 - 2 = 10

V(Y) = 3^2 9 = 81

(Y) = 81 = 9 (ou (Y) = 3 (X) = 3 3 = 9).

Calculer V(X) avec König-Huygens :

Calculer E(X) = x_i , p_i
Calculer E(X^2) = x_i^2 , p_i
Appliquer V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
En déduire (X) = V(X)

3. Jeu équitable

Jeu équitable : Un jeu est dit équitable si l'espérance du gain net G du joueur est nulle :

[formule]

Si E(G) > 0 : le jeu est favorable au joueur
Si E(G) < 0 : le jeu est défavorable au joueur (favorable à l'organisateur)

Déterminer si un jeu est équitable :

Définir la variable aléatoire G = gain net du joueur (gains - mise)
Établir la loi de probabilité de G
Calculer E(G)
Conclure selon le signe de E(G)

Exemple : Un jeu coûte 2 € pour participer. On lance un dé :

Si on obtient 6, on gagne 10 €
Sinon, on ne gagne rien

Gain net : G = gain - mise

g_i	-2	8
P(G = g_i)	5{6}	1{6}

E(G) = (-2) 5{6} + 8 1{6} = -10 + 8{6} = -1{3} -0{,}33 €.

Le jeu est défavorable au joueur : en moyenne, il perd 0,33 € par partie.

Rendre un jeu équitable : Pour rendre le jeu précédent équitable, il faut trouver la mise m telle que E(G) = 0 :

E(G) = (-m) 5{6} + (10-m) 1{6} = 0

-5m + 10 - m{6} = 0 -6m + 10 = 0 m = 10{6} 1{,}67 €.

Avec une mise de 10{6} 1{,}67 €, le jeu est équitable.

4. Applications aux jeux de hasard

Analyser un jeu de hasard : Pour décider si un jeu est intéressant, on calcule :

L'espérance E(G) : le gain moyen par partie (favorable si > 0)
L'écart type (G) : le risque associé (plus est grand, plus le résultat est incertain)

Un joueur prudent préfère un gain moyen modeste avec un faible écart type, tandis qu'un joueur audacieux accepte un écart type élevé pour un gain moyen plus important.

Exemple : loterie : Une loterie vend 1 000 billets à 5 € chacun. Les lots sont :

1 lot de 2 000 €
5 lots de 100 €
20 lots de 20 €

Gain net G pour un billet :

g_i	1,995	95	15	-5
P	1{1000}	5{1000}	20{1000}	974{1000}

E(G) = 1995 1{1000} + 95 5{1000} + 15 20{1000} + (-5) 974{1000}

E(G) = 1{,}995 + 0{,}475 + 0{,}300 - 4{,}870 = -2{,}10 €.

En moyenne, chaque joueur perd 2,10 € par billet. La loterie est défavorable au joueur.

5. Comparaison de deux variables aléatoires

Comparer deux stratégies : Pour comparer deux choix modélisés par des variables aléatoires X et Y :

Comparer les espérances E(X) et E(Y) : laquelle offre le meilleur gain moyen ?
Comparer les écarts types (X) et (Y) : laquelle est la plus risquée ?
Conclure en fonction du profil (prudent ou audacieux)

Un placement avec E(X) > E(Y) mais (X) > (Y) est plus rentable en moyenne mais plus risqué.

Exemple : choix de placement : Placement A : gain X avec E(X) = 200 € et (X) = 150 €.

Placement B : gain Y avec E(Y) = 180 € et (Y) = 50 €.

Le placement A est plus rentable en moyenne (200 > 180)
Le placement B est moins risqué ( = 50 < 150)
Un investisseur prudent choisira B, un investisseur audacieux choisira A

À retenir

Résumé :

Espérance : E(X) = x_i , p_i (valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions)
Linéarité : E(aX + b) = aE(X) + b
Formule de König-Huygens : V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Propriété de la variance : V(aX + b) = a^2 V(X) et (aX + b) = |a| (X)
Jeu équitable : E(G) = 0 ; favorable si E(G) > 0, défavorable si E(G) < 0
Pour comparer deux variables aléatoires, on analyse à la fois l'espérance (gain moyen) et l'écart type (risque)