Loi binomiale

Introduction

La loi binomiale est l'une des lois de probabilité les plus importantes en mathématiques. Elle modélise le nombre de succès lors de la répétition indépendante d'une même épreuve de Bernoulli. Ce chapitre détaille la construction de cette loi à partir du schéma de Bernoulli.

1. Épreuve de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui n'admet que deux issues :

Succès (S) avec probabilité p (où 0 p 1)
Échec (E) avec probabilité q = 1 - p

Le nombre p est appelé le paramètre de l'épreuve de Bernoulli.

Exemples d'épreuves de Bernoulli :

Lancer une pièce : Pile (succès, p = 0{,}5) ou Face (échec)
Tirer une boule rouge dans une urne contenant des boules rouges et bleues
Un produit fabriqué est conforme (p = 0{,}95) ou défectueux
Un patient guérit (p = 0{,}8) ou ne guérit pas

Attention : Pour qu'une expérience soit une épreuve de Bernoulli, il faut exactement deux issues possibles. Si l'expérience a plus de deux issues, on peut la transformer en épreuve de Bernoulli en regroupant les issues (par exemple : « obtenir un 6 » ou « ne pas obtenir un 6 » au lancer d'un dé).

2. Loi de Bernoulli B(p)

Loi de Bernoulli : La variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée X B(p), si X prend les valeurs :

X = 1 (succès) avec probabilité p
X = 0 (échec) avec probabilité 1 - p

x_i	0	1
P(X = x_i)	1-p	p

Espérance et variance de la loi de Bernoulli : Si X B(p) :

[formule]

Exemple : Un contrôle qualité montre que 4% des pièces produites sont défectueuses. On choisit une pièce au hasard et on note X = 1 si elle est défectueuse, X = 0 sinon.

X B(0{,}04)

E(X) = 0{,}04 et V(X) = 0{,}04 0{,}96 = 0{,}0384.

3. Répétition d'épreuves indépendantes

Schéma de Bernoulli : Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p consiste à répéter n fois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Indépendance signifie que le résultat d'une épreuve n'influence pas les résultats des autres épreuves.

Représentation par un arbre pondéré : On représente un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré :

Chaque nœud se divise en deux branches : Succès (p) et Échec (1-p)
L'arbre a n niveaux (un par épreuve)
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de chaque branche

Par exemple, pour n = 3 épreuves, le chemin S-E-S a pour probabilité :

[formule]

Exemple : arbre pour n = 2 : On lance deux fois une pièce truquée avec P(Pile) = 0{,}6.

Les chemins possibles et leurs probabilités :

PP : 0{,}6 0{,}6 = 0{,}36
PF : 0{,}6 0{,}4 = 0{,}24
FP : 0{,}4 0{,}6 = 0{,}24
FF : 0{,}4 0{,}4 = 0{,}16

Si X = nombre de Pile : P(X=0) = 0{,}16, P(X=1) = 0{,}48, P(X=2) = 0{,}36.

4. Loi binomiale B(n, p)

Loi binomiale : Soit X le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de n épreuves indépendantes avec probabilité de succès p. Alors X suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée X B(n, p).

Pour tout entier k avec 0 k n :

[formule]

où n{k} = n!{k!(n-k)!} est le coefficient binomial « k parmi n ».

Comment reconnaître une loi binomiale : Pour affirmer que X B(n, p), il faut vérifier trois conditions :

On répète n fois la même épreuve de Bernoulli
Les épreuves sont indépendantes
X compte le nombre de succès

Calculer P(X = k) : méthode :

Identifier les paramètres n et p
Calculer le coefficient binomial n{k}
Calculer p^k et (1-p)^{n-k}
Multiplier les trois termes

Exemple : Un QCM comporte 8 questions. Chaque question a 4 réponses possibles dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard à toutes les questions.

X = nombre de bonnes réponses. X B(8 ; 0{,}25).

Calculons P(X = 3) :

[formule]

5. Espérance, variance et écart type

Espérance et variance de la loi binomiale : Si X B(n, p) :

[formule]

Exemple : On effectue n = 100 lancers d'une pièce équilibrée (p = 0{,}5). X = nombre de Pile.

X B(100 ; 0{,}5)

E(X) = 100 0{,}5 = 50

V(X) = 100 0{,}5 0{,}5 = 25

(X) = 25 = 5

En moyenne, on obtient 50 Pile, avec un écart type de 5.

Interprétation :

E(X) = np : c'est le nombre moyen de succès attendu
(X) : plus est grand, plus les résultats sont dispersés autour de la moyenne

6. Représentation graphique

Diagramme en bâtons : La loi binomiale B(n, p) se représente par un diagramme en bâtons :

En abscisse : les valeurs k = 0, 1, 2, , n
En ordonnée : les probabilités P(X = k)

Le diagramme est symétrique lorsque p = 0{,}5 et dissymétrique sinon.

Observation :

Si p < 0{,}5 : le diagramme est décalé vers la gauche (plus de chances d'obtenir peu de succès)
Si p = 0{,}5 : le diagramme est symétrique autour de n{2}
Si p > 0{,}5 : le diagramme est décalé vers la droite
Quand n augmente, la courbe s'aplatit et s'élargit

7. Probabilités cumulées

Calculer des probabilités cumulées : Pour une variable X B(n, p), on a souvent besoin de calculer des probabilités de la forme P(X k), P(X k) ou P(a X b).

Formule directe :

[formule]

Avec le complémentaire :

[formule]

Intervalle :

[formule]

Astuce importante : Pour calculer P(X 1), utiliser le complémentaire est souvent plus rapide :

[formule]

Exemple : Un vaccinateur administre un vaccin efficace à 90% (p = 0{,}9) à n = 5 patients. X = nombre de patients immunisés. X B(5 ; 0{,}9).

a) P(X = 5) = (0{,}9)^5 0{,}590

b) P(X 4) = P(X=4) + P(X=5)

P(X=4) = 5{4}(0{,}9)^4(0{,}1)^1 = 5 0{,}6561 0{,}1 = 0{,}328

P(X 4) = 0{,}328 + 0{,}590 = 0{,}918

c) P(X 3) = 1 - P(X 4) = 1 - 0{,}918 = 0{,}082

À retenir

Résumé :

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (p) et échec (1-p)
Loi de Bernoulli B(p) : E(X) = p, V(X) = p(1-p)
Un schéma de Bernoulli : répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes
Loi binomiale B(n, p) : P(X = k) = n{k} p^k (1-p)^{n-k}
E(X) = np, V(X) = np(1-p), (X) = np(1-p)
Le diagramme en bâtons représente graphiquement la loi binomiale
P(X k) = 1 - P(X k-1) (passage au complémentaire)