Variables aléatoires
Introduction
Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire. Elle permet de quantifier le hasard et de calculer des indicateurs statistiques comme l'espérance ou la variance.
1. Définition
Variable aléatoire : Soit l'univers d'une expérience aléatoire. Une variable aléatoire X est une fonction qui associe à chaque issue de un nombre réel X().
[formule]
L'événement « X = x_i » désigne l'ensemble des issues telles que X() = x_i.
Exemple : On lance deux dés et on note X la somme des deux dés.
X peut prendre les valeurs 2, 3, 4, , 12.
Par exemple, P(X = 7) = 6{36} = 1{6} (les couples (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)).
2. Loi de probabilité
Loi de probabilité : La loi de probabilité de X est la donnée de toutes les valeurs x_i que X peut prendre et de leurs probabilités P(X = x_i).
On la présente souvent sous forme de tableau :
| x_i | x_1 | x_2 | x_n | |
|---|---|---|---|---|
| P(X = x_i) | p_1 | p_2 | p_n |
Condition : p_1 + p_2 + + p_n = 1
Exemple : On lance un dé équilibré. X = numéro obtenu.
| x_i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(X = x_i) | 1{6} | 1{6} | 1{6} | 1{6} | 1{6} | 1{6} |
3. Espérance
Espérance mathématique : L'espérance de X est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités :
[formule]
L'espérance représente la valeur moyenne de X sur un grand nombre de répétitions.
Exemple : Un jeu consiste à lancer un dé. On gagne 10 € si on obtient 6, et on perd 2 € sinon. Soit X le gain.
| x_i | -2 | 10 |
|---|---|---|
| P(X = x_i) | 5{6} | 1{6} |
[formule]
Le jeu est équitable : en moyenne, on ne gagne ni ne perd.
Interprétation :
- E(X) > 0 : le jeu est favorable au joueur
- E(X) = 0 : le jeu est équitable
- E(X) < 0 : le jeu est défavorable au joueur
4. Variance et écart type
Variance : La variance de X mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance :
[formule]
Formule de König-Huygens (plus pratique pour calculer) :
[formule]
où E(X^2) = _{i=1}^{n} x_i^2 P(X = x_i).
Écart type : L'écart type de X est :
[formule]
Il est exprimé dans la même unité que X.
Exemple : Reprenons le jeu précédent : X prend les valeurs -2 et 10.
E(X) = 0, donc :
E(X^2) = (-2)^2 5{6} + 10^2 1{6} = 20{6} + 100{6} = 20
V(X) = 20 - 0^2 = 20 et (X) = 20 = 25 4{,}47 €.
5. Loi de Bernoulli
Épreuve de Bernoulli : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues :
- Succès (S) avec probabilité p
- Échec (E) avec probabilité q = 1 - p
Loi de Bernoulli : La variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée X B(p), si :
| x_i | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P(X = x_i) | 1-p | p |
[formule]
6. Loi binomiale
Schéma de Bernoulli : Un schéma de Bernoulli consiste à répéter n fois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre p.
Loi binomiale : Si X compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de n épreuves avec probabilité de succès p, alors X suit la loi binomiale B(n, p) :
[formule]
où n{k} = n!{k!(n-k)!} est le coefficient binomial.
Espérance et variance de la loi binomiale : Si X B(n, p) :
[formule]
Exemple : On lance 10 fois une pièce équilibrée. X = nombre de Pile.
X B(10 ; 0{,}5).
E(X) = 10 0{,}5 = 5 et (X) = 10 0{,5 0{,}5} = 2{,5} 1{,}58.
P(X = 3) = 10{3} (0{,}5)^3 (0{,}5)^7 = 120 1{1024} 0{,}117.
À retenir
Résumé :
E(X) = x_i P(X = x_i) (moyenne pondérée)
V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 (formule de König-Huygens)
(X) = V(X)
Bernoulli** B(p) : E = p, V = p(1-p)
Binomiale** B(n,p) : E = np, V = np(1-p), P(X=k) = n{k} p^k (1-p)^{n-k}