Indépendance de deux événements

Introduction

Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. Cette notion est centrale en probabilités et intervient dans de nombreuses applications : fiabilité de systèmes, répétition d'expériences, etc.

1. Définition de l'indépendance

Événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :

[formule]

Intuitivement, la réalisation de A n'a aucune influence sur la probabilité de B, et réciproquement.

Caractérisations équivalentes : Si P(A) > 0 et P(B) > 0, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. P(A B) = P(A) P(B)

2. P(B|A) = P(B)

3. P(A|B) = P(A)

Savoir que A est réalisé ne change pas la probabilité de B (et vice versa).

Attention – Indépendance ≠ Incompatibilité : Indépendant et incompatible sont deux notions très différentes !

• Incompatibles : A B = , donc P(A B) = 0.
• Indépendants : P(A B) = P(A) P(B).

Si A et B sont incompatibles avec P(A) > 0 et P(B) > 0, alors P(A B) = 0 P(A) P(B). Ils sont donc dépendants.

Retenir : des événements incompatibles (non triviaux) ne sont jamais indépendants.

2. Comment vérifier l'indépendance

Trois méthodes pour vérifier l'indépendance : Méthode 1 — Par la définition :

Calculer P(A B) et P(A) P(B) puis comparer.

Si P(A B) = P(A) P(B) → indépendants.

Méthode 2 — Par la probabilité conditionnelle :

Calculer P(B|A) et comparer à P(B).

Si P(B|A) = P(B) → indépendants.

Méthode 3 — Par la probabilité conditionnelle (symétrique) :

Calculer P(A|B) et comparer à P(A).

Si P(A|B) = P(A) → indépendants.

Exemple – Vérification par la définition : On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit A = « obtenir un nombre pair » et B = « obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ».

A = {2 ; 4 ; 6}, donc P(A) = 3{6} = 1{2}.

B = {5 ; 6}, donc P(B) = 2{6} = 1{3}.

A B = {6}, donc P(A B) = 1{6}.

P(A) P(B) = 1{2} 1{3} = 1{6} = P(A B).

A et B sont indépendants.

Exemple – Non-indépendance : Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte. Soit A = « tirer un cœur » et B = « tirer une figure ».

P(A) = 8{32} = 1{4}, P(B) = 12{32} = 3{8}.

A B = « tirer une figure de cœur » : P(A B) = 3{32}.

P(A) P(B) = 1{4} 3{8} = 3{32} = P(A B).

A et B sont indépendants (dans un jeu de 32 cartes, la proportion de figures est la même dans chaque couleur).

3. Propriétés de l'indépendance

Indépendance et complémentaires : Si A et B sont indépendants, alors les couples suivants sont aussi indépendants :

• A et B
• A et B
• A et B

Exemple – Utilisation des complémentaires : On lance deux dés. Soit A = « le premier dé donne 6 » et B = « le deuxième dé donne un nombre pair ». On sait que A et B sont indépendants.

P(A B) = probabilité de ne pas avoir 6 et d'avoir un nombre impair.

P(A B) = P(A) P(B) = 5{6} 1{2} = 5{12}.

4. Succession d'épreuves indépendantes

4.1 Modélisation

Épreuves indépendantes : On parle d'épreuves indépendantes (ou répétition d'expériences indépendantes) lorsque le résultat de chaque épreuve n'a aucune influence sur les résultats des autres.

Exemples typiques :

• Lancers successifs d'un dé
• Tirages avec remise dans une urne
• Tirs successifs sur une cible

Calculer avec des épreuves indépendantes : Lorsque n épreuves sont indépendantes, la probabilité d'obtenir une suite précise de résultats est le produit des probabilités à chaque épreuve :

[formule]

4.2 Exemples de calculs

Exemple – Lancers de pièce : On lance 4 fois une pièce équilibrée. Les lancers sont indépendants.

a) Probabilité d'obtenir 4 fois Pile :

[formule]

b) Probabilité d'obtenir au moins un Face :

P(au moins un Face) = 1 - P(aucun Face) = 1 - P(PPPP) = 1 - 1{16} = 15{16}

Exemple – Tirages avec remise : Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues. On tire 3 boules successivement avec remise.

P(R) = 0{,}3 et P(B) = 0{,}7 à chaque tirage (les tirages sont indépendants grâce à la remise).

a) P(RRR) = 0{,}3^3 = 0{,}027

b) P(BBB) = 0{,}7^3 = 0{,}343

c) P(au moins une rouge) = 1 - P(BBB) = 1 - 0{,}343 = 0{,}657

d) P(exactement une rouge) : les chemins sont RBB, BRB et BBR.

P = 3 0{,}3 0{,}7^2 = 3 0{,}147 = 0{,}441

Astuce – « Au moins un » : Pour calculer P(au moins un succès), utiliser le complémentaire :

[formule]

C'est presque toujours plus simple que de calculer directement.

5. Indépendance et probabilités conditionnelles

Lien indépendance et conditionnement : A et B sont indépendants si et seulement si savoir que B est réalisé ne modifie pas la probabilité de A :

[formule]

Dans un arbre pondéré, si les probabilités de la deuxième branche ne dépendent pas du résultat de la première, les événements sont indépendants.

Exemple – Tirage avec vs sans remise : Avec remise (indépendance) : On tire dans une urne contenant 4 rouges et 6 bleues, avec remise.

P(R_2|R_1) = 4{10} = P(R_2) → Les tirages sont indépendants.

Sans remise (dépendance) : Même urne, sans remise.

P(R_2|R_1) = 3{9} 4{10} = P(R_2) → Les tirages sont dépendants.

6. Applications : fiabilité de systèmes

6.1 Composants en série

Système en série : Un système en série fonctionne si et seulement si tous ses composants fonctionnent. Si un seul tombe en panne, le système entier est en panne.

Si les composants sont indépendants avec des probabilités de fonctionnement p_1, p_2, , p_n :

[formule]

6.2 Composants en parallèle

Système en parallèle : Un système en parallèle fonctionne si au moins un de ses composants fonctionne. Il ne tombe en panne que si tous les composants tombent en panne.

Si les composants sont indépendants :

[formule]

Exemple – Fiabilité : Un système de sécurité est composé de deux capteurs indépendants. Le capteur A a une fiabilité de 95% (p_A = 0{,}95) et le capteur B de 90% (p_B = 0{,}90).

En série (les deux doivent fonctionner) :

[formule]

Le système a une fiabilité de 85,5%.

En parallèle (au moins un doit fonctionner) :

[formule]

Le système a une fiabilité de 99,5%.

La mise en parallèle améliore considérablement la fiabilité.

6.3 Répétition d'expériences

Exemple – Alarme répétée : Une alarme a une probabilité de 0,02 de se déclencher à tort chaque nuit. Les nuits sont indépendantes.

a) Probabilité que l'alarme ne se déclenche pas pendant 30 nuits :

[formule]

b) Probabilité que l'alarme se déclenche au moins une fois en 30 nuits :

[formule]

Il y a environ 45,5% de chances que l'alarme se déclenche à tort au moins une fois en un mois !

À retenir

Résumé :

1. A et B sont indépendants si P(A B) = P(A) P(B), ce qui équivaut à P(A|B) = P(A).

2. Pour vérifier l'indépendance : comparer P(A B) et P(A) P(B), ou comparer P(A|B) et P(A).

3. Si A et B sont indépendants, alors A et B, A et B, A et B le sont aussi.

4. Pour des épreuves indépendantes, la probabilité d'une suite de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.

5. Système en série : P = p_1 p_2 p_n. Système en parallèle : P = 1 - (1-p_1)(1-p_2)(1-p_n).