Probabilités conditionnelles
Introduction
En probabilités, il est fréquent que la connaissance d'un événement modifie la probabilité d'un autre. Par exemple, la probabilité d'avoir une maladie sachant qu'un test est positif n'est pas la même que la probabilité d'avoir cette maladie dans la population générale.
1. Probabilité conditionnelle
Probabilité conditionnelle : Soit A et B deux événements avec P(B) > 0.
La probabilité conditionnelle de A sachant B est :
[formule]
C'est la probabilité que A se réalise sachant que B est réalisé.
Exemple : On lance un dé équilibré. Soit A = « obtenir 6 » et B = « obtenir un nombre pair ».
P(B) = 3{6} = 1{2} et P(A B) = P(A) = 1{6}.
[formule]
Sachant que le résultat est pair, la probabilité d'obtenir 6 est 1{3}.
Attention : En général, P(A|B) P(B|A). L'ordre compte !
2. Probabilité de l'intersection
Formule de l'intersection : Pour deux événements A et B avec P(B) > 0 :
[formule]
Par symétrie, si P(A) > 0 :
[formule]
Exemple : Dans un lycée, 60% des élèves font de la spé maths (M) et parmi ceux-ci, 30% font aussi NSI (N).
P(M) = 0{,}6 et P(N|M) = 0{,}3.
[formule]
18% des élèves font à la fois spé maths et NSI.
3. Arbres pondérés
Arbre pondéré : Un arbre pondéré permet de représenter des expériences aléatoires en plusieurs étapes.
Règles :
La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long des branches
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent
Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire deux boules successivement sans remise.
Première branche :
- P(R_1) = 3{5}, P(V_1) = 2{5}
Deuxième branche sachant R_1 :
- P(R_2|R_1) = 2{4}, P(V_2|R_1) = 2{4}
Deuxième branche sachant V_1 :
- P(R_2|V_1) = 3{4}, P(V_2|V_1) = 1{4}
P(R_1 R_2) = 3{5} 2{4} = 6{20} = 3{10}
4. Formule des probabilités totales
Formule des probabilités totales : Si B_1, B_2, , B_n forment une partition de l'univers (événements incompatibles dont la réunion est ), alors pour tout événement A :
[formule]
[formule]
Cas particulier important : Si B et B forment la partition :
[formule]
Exemple : Une usine a deux machines M_1 et M_2. M_1 produit 60% des pièces (avec 5% de défauts), M_2 produit 40% (avec 3% de défauts).
Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse (D) ?
[formule] [formule]
4,2% des pièces sont défectueuses.
5. Indépendance de deux événements
Événements indépendants : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :
[formule]
Cela équivaut à : P(A|B) = P(A) (savoir que B est réalisé ne change pas la probabilité de A).
Attention :
- Indépendant incompatible !
- Si A et B sont incompatibles (et de probabilités non nulles), ils ne sont jamais indépendants car P(A B) = 0 P(A) P(B).
Exemple : On lance deux dés. A = « le premier dé donne 6 » et B = « le deuxième dé donne un nombre pair ».
P(A) = 1{6}, P(B) = 1{2}, P(A B) = 1{6} 1{2} = 1{12}.
P(A) P(B) = 1{6} 1{2} = 1{12} = P(A B).
A et B sont indépendants.
6. Applications : tests médicaux
Faux positifs – Exemple classique : Une maladie touche 1% de la population. Un test de dépistage a les propriétés suivantes :
- Sensibilité : si une personne est malade, le test est positif dans 95% des cas : P(T^+|M) = 0{,}95
- Spécificité : si une personne est saine, le test est négatif dans 90% des cas : P(T^-|M) = 0{,}90
Question : Quelle est la probabilité d'être malade sachant que le test est positif ?
Étape 1 : P(M) = 0{,}01, P(M) = 0{,}99, P(T^+|M) = 0{,}10.
Étape 2 : Probabilités totales : [formule] [formule]
Étape 3 : Formule de Bayes : [formule]
Seulement 8,8% des personnes testées positives sont réellement malades !
Retenir : Un test positif ne signifie pas forcément être malade. Quand la maladie est rare, la plupart des positifs sont des faux positifs.
À retenir
Résumé :
P(A|B) = P(A B){P(B)}
P(A B) = P(B) P(A|B)
Probabilités totales** : P(A) = P(B_i) P(A|B_i)
Indépendance** : P(A B) = P(A) P(B)
Arbres** : produit le long d'un chemin, somme des chemins pour un événement