Cercles et coniques

Géométrie repérée — Première Spécialité

Cercles et coniques

1. Équation d'un cercle

Équation canonique d'un cercle : Le cercle de centre (a ; b) et de rayon r > 0 a pour équation :

[formule]

Un point M(x ; y) appartient au cercle si et seulement s'il vérifie cette équation.

Exemple : Cercle de centre (-1 ; 3) et de rayon 2 :

[formule]

Développée : x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = 4, soit x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0.

Cercle centré à l'origine : Si le centre est l'origine O(0 ; 0), l'équation se simplifie en :

[formule]

2. Identifier un cercle par complétion du carré

Complétion du carré : Soit l'équation x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0.

Étape 1 : On regroupe les termes en x et en y :

(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F

Étape 2 : On complète chaque carré :

(x + D{2})^2 - D^2{4} + (y + E{2})^2 - E^2{4} = -F

Étape 3 : On obtient :

[formule]

Condition d'existence : L'équation x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 représente un cercle si et seulement si :

[formule]

Dans ce cas :

  • Centre : !(-D{2} ; -E{2})
  • Rayon : r = {D^2 + E^2 - 4F}{2}

Attention :

  • Si D^2 + E^2 - 4F = 0, l'ensemble se réduit à un point (cercle de rayon nul)
  • Si D^2 + E^2 - 4F < 0, l'ensemble est vide (aucun point ne vérifie l'équation)

Exemple : x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0.

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 12 + 4 + 9 = 25

(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25

Cercle de centre (2 ; -3) et de rayon r = 5.

3. Intersection droite-cercle

Résolution par substitution : Pour déterminer l'intersection d'une droite D et d'un cercle C :

Étape 1 : Écrire D sous forme y = mx + p (ou x = k si verticale).

Étape 2 : Substituer dans l'équation du cercle.

Étape 3 : Résoudre l'équation du second degré obtenue.

Étape 4 : En déduire les coordonnées des points d'intersection.

Nombre de points d'intersection : Après substitution, on obtient une équation t^2 + t + = 0.

Le discriminant = ^2 - 4 détermine le nombre de solutions :

  • 0 : 2 points d'intersection (la droite est sécante)

  • = 0 : 1 point d'intersection (la droite est tangente)
  • < 0 : aucun point d'intersection (la droite est extérieure)

Exemple : Cercle C : (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10 et droite D : y = 3x.

Substitution : (x-1)^2 + (3x-2)^2 = 10

x^2 - 2x + 1 + 9x^2 - 12x + 4 = 10

10x^2 - 14x - 5 = 0

= 196 + 200 = 396 > 0 : deux points d'intersection.

x = 14 {396}{20} = 14 6{11}{20} = 7 3{11}{10}

Méthode alternative par la distance : La droite D : ax + by + c = 0 et le cercle de centre et de rayon r :

  • Calcul de d = d(, D)
  • d < r : sécante (2 points), d = r : tangente (1 point), d > r : extérieure (0 point)

4. Tangente à un cercle en un point

Tangente à un cercle : Soit C le cercle de centre et de rayon r, et A un point de C.

La tangente à C en A est la droite passant par A et perpendiculaire au rayon [ A].

Équation de la tangente : Étape 1 : Calculer A : c'est un vecteur normal à la tangente.

Étape 2 : La tangente passe par A(x_A ; y_A) avec le vecteur normal A.

Si (a ; b) et A(x_A ; y_A), l'équation de la tangente est :

[formule]

Exemple : Cercle C : (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25, centre (1 ; -2).

Point A(4 ; 2). Vérifions : (4-1)^2 + (2+2)^2 = 9 + 16 = 25 ✓

A(3 ; 4) est vecteur normal de la tangente.

Tangente : 3(x - 4) + 4(y - 2) = 0 3x + 4y - 20 = 0.

Attention : La tangente ne coupe le cercle qu'en un seul point A. Si on substitue l'équation de la tangente dans celle du cercle, on obtient = 0.

5. Parabole et trinôme du second degré

Parabole : La courbe représentative de la fonction f(x) = ax^2 + bx + c (avec a 0) est une parabole.

  • Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (admet un minimum)
  • Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas (admet un maximum)

Sommet et axe de symétrie : La parabole y = ax^2 + bx + c possède :

  • un sommet S!(-b{2a} ,;, f!(-b{2a}))
  • un axe de symétrie : la droite verticale x = -b{2a}

Forme canonique : On écrit f(x) = a(x - )^2 + avec = -b{2a} et = f().

Cette forme met en évidence le sommet S( ; ) et le sens de variation.

Exemple : f(x) = 2x^2 - 12x + 22.

= --12{2 2} = 3 et = f(3) = 18 - 36 + 22 = 4.

Forme canonique : f(x) = 2(x - 3)^2 + 4.

Sommet S(3 ; 4), minimum en y = 4.

6. Intersections de la parabole avec les axes

Intersection avec l'axe des ordonnées : On pose x = 0 : le point est (0 ; c).

Intersection avec l'axe des abscisses : On résout ax^2 + bx + c = 0 à l'aide du discriminant = b^2 - 4ac :

  • 0 : deux points (-b - {}{2a} ; 0) et (-b + {}{2a} ; 0)

  • = 0 : un point (tangent) (-b{2a} ; 0)

  • < 0 : aucune intersection avec l'axe des abscisses

Exemple : y = x^2 - 5x + 6.

= 25 - 24 = 1 > 0.

x_1 = 5 - 1{2} = 2 et x_2 = 5 + 1{2} = 3.

Intersections avec l'axe des abscisses : (2 ; 0) et (3 ; 0).

Intersection avec l'axe des ordonnées : (0 ; 6).

À retenir

Résumé :

  1. Cercle de centre (a ; b) et rayon r : (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

  2. Complétion du carré : x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 est un cercle ssi D^2 + E^2 - 4F > 0

  3. Intersection droite-cercle : substituer, résoudre l'équation du 2nd degré, interpréter

  4. Tangente en A : perpendiculaire au rayon [ A], vecteur normal A

  5. Parabole y = ax^2 + bx + c : sommet S!(-b{2a} ; f!(-b{2a}))

  6. Intersections avec l'axe des abscisses : résoudre ax^2 + bx + c = 0 (discriminant )