Droites dans le plan repéré
1. Vecteur directeur et vecteur normal
Vecteur directeur : Un vecteur directeur d'une droite D est un vecteur non nul parallèle à D.
Si A et B sont deux points distincts de D, alors AB est un vecteur directeur de D.
Vecteur normal : Un vecteur normal à une droite D est un vecteur non nul perpendiculaire à D.
Si u( ; ) est un vecteur directeur de D, alors n( ; -) est un vecteur normal à D (et réciproquement).
Astuce : Pour passer d'un vecteur directeur à un vecteur normal, on échange les coordonnées et on change un signe.
2. Équation cartésienne d'une droite
Équation cartésienne : Toute droite D du plan admet une équation cartésienne de la forme :
[formule]
- n(a ; b) est un vecteur normal à D
- u(-b ; a) est un vecteur directeur de D
Déterminer une équation cartésienne : Méthode 1 — À partir d'un point A(x_A ; y_A) et d'un vecteur normal n(a ; b) :
[formule]
On développe pour obtenir ax + by + c = 0.
Méthode 2 — À partir d'un point A(x_A ; y_A) et d'un vecteur directeur u( ; ) :
M(x ; y) D AM et u colinéaires (x - x_A) - (y - y_A) = 0.
Exemple : Droite passant par A(2 ; -1) de vecteur normal n(3 ; 4) :
3(x - 2) + 4(y + 1) = 0 3x + 4y - 2 = 0
Vecteur directeur : u(-4 ; 3).
3. Équation réduite d'une droite
Équation réduite : Une droite non verticale admet une équation réduite :
[formule]
où m est le coefficient directeur (pente) et p l'ordonnée à l'origine.
Une droite verticale a pour équation x = k (k R).
Passage cartésienne → réduite : À partir de ax + by + c = 0 avec b 0 :
[formule]
On identifie : m = -a{b} et p = -c{b}.
Si b = 0, la droite est verticale : x = -c{a}.
Exemple : 5x - 2y + 8 = 0 y = 5{2}x + 4.
Pente m = 5{2}, ordonnée à l'origine p = 4.
Passage réduite → cartésienne : À partir de y = mx + p :
[formule]
On pose a = m, b = -1, c = p.
4. Positions relatives de deux droites
Positions relatives : Soient deux droites :
D_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 et D_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 = 0.
On calcule le déterminant :
[formule]
- Si 0 : les droites sont sécantes (un unique point d'intersection)
- Si = 0 : les droites sont parallèles (parallèles distinctes ou confondues)
Distinguer parallèles et confondues : Quand = 0 (droites parallèles), on vérifie si un point de l'une appartient à l'autre :
Si a_1 c_2 - a_2 c_1 = 0 et b_1 c_2 - b_2 c_1 = 0 : droites confondues
Sinon : droites parallèles distinctes
Attention : Deux droites de même pente m sont parallèles (ou confondues). Mais si une droite est verticale, il faut vérifier directement les équations.
Exemple : D_1 : 2x - 3y + 1 = 0 et D_2 : 4x + y - 5 = 0.
= 2 1 - 4 (-3) = 2 + 12 = 14 0.
Les droites sont sécantes.
Cas des équations réduites : Soient D_1 : y = m_1 x + p_1 et D_2 : y = m_2 x + p_2.
- m_1 m_2 : droites sécantes
- m_1 = m_2 et p_1 p_2 : droites parallèles distinctes
- m_1 = m_2 et p_1 = p_2 : droites confondues
5. Systèmes de deux équations à deux inconnues
Point d'intersection : Pour trouver le point d'intersection de deux droites sécantes, on résout le système :
[formule]
Méthode par substitution : on exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans la seconde.
Méthode par combinaison : on multiplie les équations par des coefficients pour éliminer une inconnue.
Exemple : cases 2x - y + 1 = 0 x + 3y - 11 = 0 cases
De la 1ère : y = 2x + 1.
Substitution dans la 2e : x + 3(2x+1) - 11 = 0 7x - 8 = 0 x = 8{7}.
y = 2 8{7} + 1 = 23{7}.
Point d'intersection : I!(8{7} ; 23{7}).
Formules de Cramer : Si = a_1 b_2 - a_2 b_1 0, la solution du système est :
[formule]
6. Distance d'un point à une droite
Formule de distance point-droite : La distance du point M_0(x_0 ; y_0) à la droite D : ax + by + c = 0 est :
[formule]
Attention : La droite doit être sous forme ax + by + c = 0 pour appliquer la formule. Si elle est en forme réduite y = mx + p, on la réécrit mx - y + p = 0.
Exemple : Distance de P(5 ; -2) à D : 3x + 4y - 7 = 0.
[formule]
Le point P appartient à la droite D.
Exemple 2 : Distance de Q(-1 ; 4) à D : 5x - 12y + 3 = 0.
[formule]
Application : La formule de distance sert notamment à :
- vérifier qu'un point appartient à une droite (d = 0)
- calculer la hauteur d'un triangle
- déterminer si un point est intérieur à un cercle (comparer d au rayon)
À retenir
Résumé :
Vecteur directeur u(-b ; a) et vecteur normal n(a ; b) pour ax + by + c = 0
Équation réduite : y = mx + p avec m = -a{b} et p = -c{b} (si b 0)
Déterminant = a_1 b_2 - a_2 b_1 : 0 sécantes, = 0 parallèles ou confondues
Système cases a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 cases : résolution par substitution ou combinaison
Distance point-droite : d(M_0, D) = |ax_0 + by_0 + c|{a^2 + b^2}
Perpendiculaires : m_1 m_2 = -1 (si les pentes existent)