Géométrie analytique
1. Équation cartésienne d'une droite
Équation cartésienne : Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme :
[formule]
Vecteur directeur et vecteur normal : Pour la droite ax + by + c = 0 :
Un vecteur directeur est u(-b ; a)
Un vecteur normal est n(a ; b)
Le vecteur normal est perpendiculaire à la droite.
Exemple : Droite D : 2x - 3y + 6 = 0.
- Vecteur directeur : u(3 ; 2)
- Vecteur normal : n(2 ; -3)
2. Équation réduite d'une droite
Équation réduite : Une droite non verticale admet une équation réduite :
[formule]
où m est le coefficient directeur (pente) et p l'ordonnée à l'origine.
Passage cartésienne → réduite : À partir de ax + by + c = 0 (avec b 0) :
[formule]
Donc m = -a{b} et p = -c{b}.
Exemple : 2x - 3y + 6 = 0 y = 2{3}x + 2.
Pente m = 2{3}, ordonnée à l'origine p = 2.
3. Déterminer l'équation d'une droite
À partir d'un point et d'un vecteur directeur : Droite passant par A(x_A ; y_A) de vecteur directeur u( ; ) :
M(x ; y) D AM et u sont colinéaires :
[formule]
À partir d'un point et d'un vecteur normal : Droite passant par A(x_A ; y_A) de vecteur normal n(a ; b) :
[formule]
4. Équation d'un cercle
Équation d'un cercle : Le cercle de centre (a ; b) et de rayon r a pour équation :
[formule]
Exemple : Cercle de centre (3 ; -1) et de rayon 4 :
[formule]
En développant : x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = 16, soit x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0.
Reconnaître un cercle : Si on a x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0, on complète les carrés :
[formule]
C'est un cercle si D^2 + E^2 - 4F > 0, de centre (-D{2} ; -E{2}) et de rayon r = {D^2 + E^2 - 4F}{2}.
5. Parabole et trinôme
Parabole : La courbe représentative de f(x) = ax^2 + bx + c (a 0) est une parabole :
- Sommet : S(-b{2a} ; f(-b{2a}))
- Axe de symétrie : droite d'équation x = -b{2a}
- Tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0
Rappel : L'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses correspond aux racines du trinôme (discriminant = b^2 - 4ac).
6. Distance d'un point à une droite
Formule de distance : La distance du point M_0(x_0 ; y_0) à la droite D : ax + by + c = 0 est :
[formule]
Exemple : Distance de M(1 ; 3) à D : 3x - 4y + 2 = 0.
[formule]
À retenir
Résumé :
Droite : ax + by + c = 0 → u(-b ; a), n(a ; b)
Pente : m = -a{b}, équation réduite : y = mx + p
Cercle : (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
Distance point-droite : d = |ax_0 + by_0 + c|{a^2 + b^2}
Parabole : sommet en x = -b{2a}