Orthogonalité et cercle
1. Équation d'un cercle
Cercle dans un repère orthonormé : Le cercle de centre (a ; b) et de rayon r > 0 est l'ensemble des points M(x ; y) tels que :
[formule]
C'est l'équation cartésienne du cercle.
Exemple : Le cercle de centre (2 ; -3) et de rayon 5 a pour équation :
[formule]
En développant : x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 25, soit x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0.
Reconnaître une équation de cercle : Une équation de la forme x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 représente un cercle si et seulement si D^2 + E^2{4} - F > 0.
Dans ce cas, le centre est (-D{2} ; -E{2}) et le rayon est r = {D^2 + E^2{4} - F}.
Exemple : x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0.
On complète les carrés : (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 + 1 = 0
[formule]
C'est le cercle de centre (3 ; -1) et de rayon r = 3.
2. Cercle de diamètre [AB]
Caractérisation du cercle de diamètre [AB :] Soit A et B deux points distincts. Un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si :
[formule]
Autrement dit, M est sur le cercle de diamètre [AB] si et seulement si le triangle MAB est rectangle en M.
Démonstration : Soit I le milieu de [AB] et R = AB{2}.
M est sur le cercle de diamètre [AB] IM = R IM^2 = R^2.
On écrit MA = MI + IA et MB = MI + IB = MI - IA.
[formule]
Donc MA MB = 0 MI^2 = R^2 M est sur le cercle de diamètre [AB].
Exemple : A(1 ; 0) et B(5 ; 4). Déterminer l'équation du cercle de diamètre [AB].
Le centre est I(1+5{2} ; 0+4{2}) = I(3 ; 2).
Le rayon est R = AB{2} = {16 + 16}{2} = 4{2}{2} = 22.
L'équation est : (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 8.
Vérification par le produit scalaire : pour M(x ; y) :
MA(1 - x ; -y) et MB(5 - x ; 4 - y).
MA MB = (1-x)(5-x) + (-y)(4-y) = x^2 - 6x + 5 + y^2 - 4y
= (x-3)^2 - 9 + (y-2)^2 - 4 + 5 = (x-3)^2 + (y-2)^2 - 8
MA MB = 0 (x-3)^2 + (y-2)^2 = 8. ✓
3. Droites perpendiculaires
Condition d'orthogonalité avec les vecteurs directeurs : Deux droites (d_1) et (d_2) de vecteurs directeurs u_1 et u_2 sont perpendiculaires si et seulement si :
[formule]
Condition avec les pentes : Si (d_1) a pour pente m_1 et (d_2) a pour pente m_2 (aucune des deux n'est verticale), alors :
[formule]
Démonstration : (d_1) de pente m_1 a pour vecteur directeur u_1(1 ; m_1).
(d_2) de pente m_2 a pour vecteur directeur u_2(1 ; m_2).
[formule]
Donc u_1 u_2 = 0 m_1 m_2 = -1.
Exemple : (d_1) : y = 3x + 1 et (d_2) : y = -1{3}x + 5.
m_1 m_2 = 3 (-1{3}) = -1, donc (d_1) (d_2).
Attention : Si une droite est verticale (pas de pente), on ne peut pas utiliser la condition m_1 m_2 = -1. On utilise alors les vecteurs directeurs : une droite verticale u(0 ; 1) est perpendiculaire à une droite horizontale v(1 ; 0) car u v = 0.
4. Médiatrice d'un segment
Caractérisation de la médiatrice par le produit scalaire : La médiatrice du segment [AB] est l'ensemble des points M tels que MA = MB.
On a l'équivalence :
[formule]
[formule]
Or MA - MB = BA. En posant I milieu de [AB], MA + MB = 2MI.
Donc : MA = MB MI BA = 0, c'est-à-dire M est sur la droite passant par I et perpendiculaire à (AB).
Équation de la médiatrice : Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), un point M(x ; y) est sur la médiatrice de [AB] si et seulement si :
[formule]
avec I milieu de [AB]. En développant, on obtient une équation de droite.
Exemple : A(1 ; 3) et B(5 ; 1). Déterminer l'équation de la médiatrice de [AB].
I(3 ; 2) et AB(4 ; -2).
Pour M(x ; y) : MI(3 - x ; 2 - y).
MI AB = 4(3 - x) + (-2)(2 - y) = 12 - 4x - 4 + 2y = 8 - 4x + 2y
L'équation est : -4x + 2y + 8 = 0, soit 2x - y - 4 = 0, ou encore y = 2x - 4.
5. Applications à la géométrie plane
Méthode : montrer qu'un point est sur un cercle : Pour montrer que M est sur le cercle de diamètre [AB], il suffit de vérifier que MA MB = 0.
Exemple complet : Soit A(0 ; 0), B(6 ; 0), C(6 ; 4) et D(0 ; 4) un rectangle.
1) Montrer que C est sur le cercle de diamètre [BD].
CB(0 ; -4) et CD(-6 ; 0).
CB CD = 0 + 0 = 0. Donc C est sur le cercle de diamètre [BD]. ✓
2) Montrer que A est aussi sur ce cercle.
AB(6 ; 0) et AD(0 ; 4).
AB AD = 0 + 0 = 0. Donc A est sur le cercle de diamètre [BD]. ✓
Les quatre sommets du rectangle sont donc cocycliques, sur le cercle de diamètre la diagonale [BD].
Exemple : trouver un lieu géométrique : Soit A(0 ; 0) et B(4 ; 2). Déterminer l'ensemble des points M(x ; y) tels que MA AB = 0.
MA(-x ; -y) et AB(4 ; 2).
MA AB = -4x - 2y = 0
Donc 4x + 2y = 0, soit y = -2x.
L'ensemble cherché est la droite passant par A et perpendiculaire à (AB).
À retenir
Résumé :
Équation du cercle : (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, centre (a ; b), rayon r
Cercle de diamètre [AB] : M est sur ce cercle MA MB = 0
Droites perpendiculaires : u_1 u_2 = 0 ou m_1 m_2 = -1
Médiatrice de [AB] : MA = MB MI AB = 0 (I milieu de [AB])
Tout triangle inscrit dans un demi-cercle dont l'hypoténuse est le diamètre est rectangle (réciproque du théorème de Thalès)