Applications du produit scalaire
1. Les différentes expressions du produit scalaire
Trois expressions du produit scalaire : Soient u et v deux vecteurs du plan. Le produit scalaire peut s'exprimer de trois façons :
Expression avec l'angle :
[formule]
Expression en coordonnées (dans un repère orthonormé, avec u(x ; y) et v(x' ; y')) :
[formule]
Expression avec les normes (formule de polarisation) :
[formule]
Astuce : La formule de polarisation est particulièrement utile lorsqu'on connaît les longueurs des côtés d'un triangle mais pas les coordonnées des points.
Exemple : Soient u et v tels que |u| = 3, |v| = 5 et |u + v| = 7.
[formule]
Autre forme de polarisation : On dispose aussi de :
[formule]
Cette formule provient du développement de |u - v|^2.
2. Projeté orthogonal
Projeté orthogonal d'un point : Soit une droite (d) de vecteur directeur v, et un point B quelconque. Le projeté orthogonal H de B sur (d) est le point de (d) tel que (BH) (d).
Produit scalaire et projection : Soient A, B deux points et H le projeté orthogonal de B sur une droite passant par A de vecteur directeur u.
[formule]
En particulier, si u et v sont non nuls et H est le projeté orthogonal de l'extrémité de v sur la droite portant u :
[formule]
où OH est la mesure algébrique du projeté.
Exemple : Soit A, B, C avec AB = 6, BAC = 60° et H le projeté orthogonal de C sur (AB) avec AC = 4.
[formule]
Or AH = AC (BAC) = 4 (60°) = 4 1{2} = 2.
Donc AB AC = 6 2 = 12.
Vérification : AB AC = AB AC (60°) = 6 4 1{2} = 12. ✓
3. Théorème d'Al-Kashi
Théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus) : Dans un triangle ABC, en notant a = BC, b = AC, c = AB :
[formule]
[formule]
[formule]
Attention : Le théorème de Pythagore est un cas particulier d'Al-Kashi : si A = 90°, alors (A) = 0 et on retrouve a^2 = b^2 + c^2.
Démonstration par le produit scalaire : On part de BC = AC - AB, d'où :
[formule]
[formule]
[formule]
Soit a^2 = b^2 + c^2 - 2bc(A).
Exemple : trouver un côté : Dans le triangle ABC : b = AC = 5, c = AB = 7 et A = 120°.
[formule]
[formule]
Donc a = BC = 109 10{,}44.
Exemple : trouver un angle : Dans le triangle ABC : a = 8, b = 5, c = 7.
D'après Al-Kashi : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc(A)
[formule]
[formule]
[formule]
4. Formules d'aire avec le produit scalaire
Aire d'un triangle : L'aire du triangle ABC peut se calculer avec :
[formule]
En utilisant ^2(A) + ^2(A) = 1, on peut trouver (A) à partir du produit scalaire :
[formule]
où (A) = {AB AC}{AB AC}.
Exemple : Triangle ABC avec A(0 ; 0), B(4 ; 0) et C(1 ; 3).
AB(4 ; 0) et AC(1 ; 3).
AB AC = 4, AB = 4, AC = 10.
(A) = 4{410} = 1{10}
(A) = 1 - {1{10}} = {9{10}} = 3{10}
A = 1{2} 4 10 3{10} = 1{2} 4 3 = 6
5. Applications : calcul d'angles dans un triangle
Méthode : calculer les angles d'un triangle connaissant les coordonnées : Soit A, B, C trois points de coordonnées connues.
Étape 1 : Calculer les vecteurs AB et AC.
Étape 2 : Calculer le produit scalaire AB AC.
Étape 3 : Calculer les normes |AB| et |AC|.
Étape 4 : En déduire (A) = {AB AC}{AB AC} puis A.
Répéter pour les autres angles si nécessaire.
Exemple complet : Soit A(1 ; 2), B(5 ; 2) et C(3 ; 5).
AB(4 ; 0), AC(2 ; 3).
AB AC = 8 + 0 = 8
AB = 4, AC = 4 + 9 = 13
(A) = 8{413} = 2{13}
A = (2{13}) 56{,}3°
6. Applications : calcul de distances
Méthode : distance avec Al-Kashi : Lorsqu'on connaît deux côtés et l'angle entre eux, Al-Kashi permet de calculer le troisième côté directement :
[formule]
C'est une généralisation de la distance euclidienne.
Exemple : Deux bateaux partent du même port P. Le premier parcourt a = 12 km vers le Nord-Est, le second b = 8 km avec un angle de 60° par rapport au premier.
La distance entre les deux bateaux est :
[formule]
[formule]
À retenir
Résumé :
Formule de polarisation : u v = 1{2}(|u+v|^2 - |u|^2 - |v|^2)
Projeté orthogonal : AB AC = AB AH où H est le projeté de C sur (AB)
Al-Kashi : a^2 = b^2 + c^2 - 2bc(A)
Calcul d'un angle : (A) = {AB AC}{AB AC}
Aire d'un triangle : A = 1{2} AB AC |(A)|
Distance (Al-Kashi) : d = a^2 + b^2 - 2ab()