Produit scalaire dans le plan
1. Définition avec l'angle
Produit scalaire : Soient u et v deux vecteurs du plan non nuls, et l'angle entre eux.
Le produit scalaire de u et v est le réel :
[formule]
Par convention, si u = 0 ou v = 0, alors u v = 0.
Exemple : u et v avec |u| = 3, |v| = 4 et = 60°.
[formule]
2. Expression en coordonnées
Produit scalaire en coordonnées : Si u(x ; y) et v(x' ; y') dans un repère orthonormé, alors :
[formule]
Exemple : u(3 ; -1) et v(2 ; 5).
[formule]
3. Propriétés du produit scalaire
Propriétés : Pour tous vecteurs u, v, w et tout réel k :
Symétrie : u v = v u
Bilinéarité** :
- u (v + w) = u v + u w
- (ku) v = k(u v)
Carré scalaire : u u = |u|^2
Identités remarquables :
- (u + v)^2 = |u|^2 + 2u v + |v|^2
(u - v)^2 = |u|^2 - 2u v + |v|^2
(u + v) (u - v) = |u|^2 - |v|^2
4. Norme et distance
Norme d'un vecteur : Dans un repère orthonormé, si u(x ; y) :
[formule]
Distance entre deux points : Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) :
[formule]
5. Orthogonalité
Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si :
[formule]
En coordonnées : u v xx' + yy' = 0.
Exemple : u(2 ; 3) et v(3 ; -2).
u v = 6 - 6 = 0, donc u v.
6. Angle entre deux vecteurs
Calcul d'un angle : Pour trouver l'angle entre u et v :
[formule]
Exemple : u(1 ; 1) et v(0 ; 1).
() = 0 + 1{2 1} = 1{2} = {2}{2}
Donc = 45°.
7. Projeté orthogonal
Projeté orthogonal : Le projeté orthogonal de u sur v (v 0) est :
[formule]
De plus : u v = |v| OH
où H est le projeté orthogonal de l'extrémité de u sur la droite portant v (OH est une mesure algébrique).
À retenir
Résumé :
u v = |u| |v| ()
En coordonnées : u v = xx' + yy'
u v u v = 0
|u| = x^2 + y^2
() = {u v}{|u| |v|}