Ensembles et logique

Introduction

Écrire x ∈ [-2 ; 5[, affirmer qu'une propriété est vraie « pour tout entier n », démontrer par l'absurde que √(2) est irrationnel : depuis le début de l'année, on parle déjà le langage des ensembles et de la logique. Cette leçon en rassemble le vocabulaire et les façons de raisonner, sur des exemples tirés des leçons précédentes.

1. Ensembles, éléments, inclusion

Ensemble, élément, ensemble vide : Un ensemble est une collection d'objets, appelés ses éléments. On écrit x ∈ E (« x appartient à E ») quand x est un élément de E, et x ∉ E sinon.

On peut décrire un ensemble en donnant la liste de ses éléments entre accolades, comme E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ou par une propriété, comme « l'ensemble des entiers pairs ».

L'ensemble qui n'a aucun élément est l'ensemble vide, noté ∅.

Inclusion, sous-ensemble : On dit que A est inclus dans E, et l'on écrit A ⊂ E, si tout élément de A est aussi un élément de E. On dit alors que A est un sous-ensemble (ou une partie) de E.

Exemples :

• {2, 4, 6} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. En revanche, {2, 7} n'est pas inclus dans {1, 2, 3, 4, 5, 6}, puisque 7 n'appartient pas au second ensemble.
• ℕ ⊂ ℤ, et [1 ; 2] ⊂ [0 ; 5].

Appartenir ou être inclus : Le symbole ∈ relie un élément à un ensemble ; le symbole ⊂ relie deux ensembles. On écrit 2 ∈ ℕ et {2} ⊂ ℕ.

2. Intersection, réunion, complémentaire, cardinal

Intersection et réunion : Soient A et B deux sous-ensembles d'un ensemble E.

• L'intersection A ∩ B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B.
• La réunion A ∪ B est l'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, éventuellement aux deux.

Complémentaire : Le complémentaire de A dans E est l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à A. On le note E ∖ A (« E privé de A »), ou A̅ comme en probabilités.

Avec un dé : On lance un dé à six faces : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. On note A = {2, 4, 6} (« le résultat est pair ») et B = {4, 5, 6} (« le résultat est supérieur ou égal à 4 »).

• A ∩ B = {4, 6} : le résultat est pair et supérieur ou égal à 4.
• A ∪ B = {2, 4, 5, 6} : le résultat est pair ou supérieur ou égal à 4. Les éléments 4 et 6, communs aux deux, ne s'écrivent qu'une fois.
• A̅ = E ∖ A = {1, 3, 5} : le résultat est impair.
• A et A̅ n'ont aucun élément commun : A ∩ A̅ = ∅.

Avec des intervalles : [-1 ; 4] ∩ [2 ; 7] = [2 ; 4] et [-1 ; 4] ∪ [2 ; 7] = [-1 ; 7].

Dans ℝ, le complémentaire de [2 ; +∞[ est ]-∞ ; 2[ : le nombre 2 appartient à l'intervalle, il n'appartient donc pas à son complémentaire.

Cardinal : Le cardinal d'un ensemble fini A, noté Card(A), est son nombre d'éléments.

Compter sans compter deux fois : Avec le dé : Card(E) = 6, Card(A) = 3, Card(B) = 3, Card(A ∩ B) = 2 et Card(A ∪ B) = 4.

On ne trouve pas Card(A ∪ B) en additionnant 3 + 3 = 6 : les deux éléments communs, 4 et 6, seraient comptés deux fois.

Comme le dé est équilibré, P(A) = (Card(A))/(Card(E)) = 3/6 = 1/2.

3. Couples et produit cartésien

Couple, produit cartésien : Un couple (a ; b) est formé de deux éléments pris dans cet ordre. Le produit cartésien de deux ensembles E et F, noté E × F, est l'ensemble des couples (a ; b) tels que a ∈ E et b ∈ F.

Composer un menu : Un restaurant propose une entrée (salade ou soupe) et un plat (poisson, pâtes ou omelette). Un menu est un couple (entrée ; plat), c'est-à-dire un élément de E × F, avec E l'ensemble des entrées et F celui des plats :

Le tableau a 2 lignes et 3 colonnes : il y a 2 × 3 = 6 menus, donc Card(E × F) = 6.

L'ordre compte : (1 ; 2) et (2 ; 1) sont deux couples différents. Dans un repère, le point de coordonnées (1 ; 2) n'est pas le point de coordonnées (2 ; 1) : les coordonnées d'un point forment un couple de ℝ × ℝ.

4. Propositions, « et », « ou », négation

Proposition : Une proposition est un énoncé mathématique qui est soit vrai, soit faux. Elle peut dépendre d'une variable : « n est pair » est vraie pour n = 4 et fausse pour n = 7.

Exemples :

• « √(2) est irrationnel » est une proposition vraie ; « 1/3 est décimal » est une proposition fausse (leçon « Les ensembles de nombres »).
• « x² = 9 » est vraie pour x = 3 et pour x = -3, et fausse pour tout autre réel x.
• « Calculer 2¹⁰ » n'est pas une proposition : ce n'est ni vrai ni faux, c'est une consigne.

Les connecteurs « et », « ou » :

• « P et Q » est vraie lorsque P et Q sont vraies toutes les deux.
• « P ou Q » est vraie lorsque l'une au moins des deux est vraie. En mathématiques, le « ou » est inclusif : il n'exclut pas que les deux soient vraies.

Le lien avec les ensembles : « x ∈ A ∩ B » signifie « x ∈ A et x ∈ B » ; « x ∈ A ∪ B » signifie « x ∈ A ou x ∈ B ».

Ainsi, x ∈ [-2 ; 5[ signifie « x ≥ -2 et x < 5 ».

Négation : La négation d'une proposition P, notée « non P », est vraie quand P est fausse, et fausse quand P est vraie.

Nier « et », nier « ou » :

• La négation de « P et Q » est « non P ou non Q ».
• La négation de « P ou Q » est « non P et non Q ».

Exemples :

• La négation de « n est pair et n ≥ 10 » est « n est impair ou n < 10 ».
• La négation de « x ≥ -2 et x < 5 » est « x < -2 ou x ≥ 5 » : elle dit que x appartient au complémentaire de [-2 ; 5[ dans ℝ, c'est-à-dire à ]-∞ ; -2[ ∪ [5 ; +∞[.
• La négation de « x > 3 » est « x ≤ 3 », et non « x < 3 » : le cas x = 3 ne doit pas se perdre.

L'erreur classique : garder le « et » : Nier « n est pair et n ≥ 10 » en « n est impair et n < 10 » est faux. Prenons n = 4 : la proposition de départ est fausse, sa négation doit donc être vraie ; or « 4 est impair et 4 < 10 » est fausse. En niant, le « et » devient un « ou ».

5. « Pour tout », « il existe »

Deux façons de quantifier :

• « Pour tout réel x, x² ≥ 0 » affirme que la propriété est vraie pour chaque valeur de x. On dit aussi « quel que soit le réel x ».
• « Il existe un réel x tel que x² = 2 » affirme qu'elle est vraie pour au moins une valeur de x : ici x = √(2) convient, et x = -√(2) aussi.

En Seconde, ces deux expressions s'écrivent en toutes lettres.

Lire une propriété du cours : « La somme de deux multiples de a est un multiple de a » (leçon « Arithmétique ») se lit : pour tous entiers m et n multiples de a, m + n est un multiple de a. C'est pourquoi un exemple ne suffit pas à la démontrer : il faut un calcul valable pour tous les multiples.

6. Le contre-exemple

Montrer qu'une propriété « pour tout » est fausse : Pour montrer qu'une proposition de la forme « pour tout x, … » est fausse, il suffit de trouver une valeur de x pour laquelle elle est fausse : c'est un contre-exemple.

Exemples :

• « Pour tout réel x, x² ≥ x » est fausse : pour x = 1/2, x² = 1/4, et 1/4 < 1/2.
• « Pour tous réels positifs a et b, √(a + b) = √(a) + √(b) » est fausse : √(9 + 16) = √(25) = 5, alors que √(9) + √(16) = 3 + 4 = 7.
• « La somme de deux nombres irrationnels est irrationnelle » est fausse : √(2) et -√(2) sont irrationnels (si -√(2) était rationnel, son opposé √(2) le serait aussi), et leur somme vaut 0, qui est rationnel.

Un exemple ne démontre pas un « pour tout » : La propriété x² ≥ x est vraie pour x = 2, pour x = 3 et pour x = 10 ; elle est pourtant fausse pour x = 1/2. Des exemples, même nombreux, ne démontrent pas qu'une propriété est vraie pour tout x. En revanche, un seul contre-exemple suffit à démontrer qu'elle est fausse.

Approfondissement : La négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe x tel que non P(x) » : c'est exactement ce que fournit un contre-exemple. La négation de « il existe x tel que P(x) » est « pour tout x, non P(x) ». Former la négation d'une proposition qui contient « pour tout » ou « il existe » n'est pas exigible en Seconde.

7. Implication, réciproque, contraposée, équivalence

Implication : « Si P, alors Q » est une implication, que l'on note aussi P ⇒ Q. Elle affirme que, chaque fois que P est vraie, Q est vraie aussi.

Exemple : Pour tout réel x : « si x = 3, alors x² = 9 ». Cette implication est vraie, puisque 3² = 9.

Réciproque : La réciproque de « si P, alors Q » est « si Q, alors P » : on échange les deux propositions.

Une réciproque peut être fausse : La réciproque de « si x = 3, alors x² = 9 » est « si x² = 9, alors x = 3 ». Elle est fausse : x = -3 est un contre-exemple, puisque (-3)² = 9 et -3 ≠ 3.

Le théorème de Pythagore et sa réciproque sont deux propriétés différentes, qu'il faut démontrer séparément ; il se trouve qu'elles sont vraies toutes les deux.

Contraposée : La contraposée de « si P, alors Q » est « si non Q, alors non P » : on échange les deux propositions et on les nie.

Propriété : Une implication et sa contraposée sont vraies toutes les deux, ou fausses toutes les deux.

Pourquoi ? : Supposons que « si P, alors Q » soit vraie, et que Q soit fausse. Si P était vraie, Q serait vraie, ce qui n'est pas le cas : P est donc fausse. Ainsi, « si non Q, alors non P » est vraie. Le même raisonnement, appliqué à la contraposée, redonne l'implication de départ.

Une contraposée déjà rencontrée : Dans la leçon « Arithmétique », on a démontré : « si n est impair, alors n² est impair ». Sa contraposée est « si n² n'est pas impair, alors n n'est pas impair », c'est-à-dire « si n² est pair, alors n est pair ».

Elle est donc vraie, sans nouvelle démonstration, et c'est elle qui sert à démontrer que √(2) est irrationnel.

Nier sans échanger ne donne pas la contraposée : « Si non P, alors non Q » n'est pas la contraposée de « si P, alors Q ». Pour « si x = 3, alors x² = 9 », elle donnerait « si x ≠ 3, alors x² ≠ 9 », qui est fausse : x = -3 est encore un contre-exemple.

Équivalence : Lorsqu'une implication et sa réciproque sont vraies toutes les deux, on dit que P et Q sont équivalentes, et l'on écrit P ⟺ Q, qui se lit « P si et seulement si Q ».

Exemples :

• Pour tout réel x : x² = 9 ⟺ (x = 3 ou x = -3).
• Pour tous réels a et b : a ≤ b ⟺ b - a ≥ 0 (leçon « Intervalles, inégalités et valeur absolue »).
• Un triangle ABC est rectangle en A si et seulement si BC² = AB² + AC² : c'est le théorème de Pythagore et sa réciproque, réunis en une seule phrase.

8. Trois façons de raisonner

Par disjonction des cas

Raisonner par disjonction des cas : On sépare le problème en plusieurs cas qui recouvrent toutes les possibilités, et l'on démontre la propriété dans chacun d'eux.

Démonstration (disjonction des cas) : Propriété. Pour tout entier n, le nombre n(n + 1) est pair.

Tout entier est soit pair, soit impair : on traite ces deux cas.

• Si n est pair, il existe un entier k tel que n = 2k. Alors n(n + 1) = 2k(n + 1) = 2 × k(n + 1), et k(n + 1) est un entier : n(n + 1) est pair.
• Si n est impair, il existe un entier k tel que n = 2k + 1. Alors n + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1), donc n(n + 1) = 2 × n(k + 1), et n(k + 1) est un entier : n(n + 1) est pair.

Dans les deux cas, n(n + 1) est pair.

Contrôle : Pour n = 7 : 7 × 8 = 56 = 2 × 28. Pour n = -4 : (-4) × (-3) = 12 = 2 × 6.

Par l'absurde

Raisonner par l'absurde : Pour démontrer qu'une proposition est vraie, on suppose qu'elle est fausse, et l'on en déduit une contradiction : une affirmation impossible, ou contraire à une hypothèse. La supposition était donc fausse : la proposition est vraie.

Démonstration (par l'absurde) : Propriété. Il n'existe pas de plus grand entier pair.

Supposons qu'il existe un plus grand entier pair, que l'on note N : il existe un entier k tel que N = 2k. Alors N + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1) est lui aussi un entier pair, et N + 2 > N. C'est une contradiction, puisque N était le plus grand entier pair. La supposition est fausse : il n'existe pas de plus grand entier pair.

Deux raisonnements par l'absurde déjà rencontrés : « 1/3 n'est pas décimal » et « √(2) est irrationnel » (leçon « Les ensembles de nombres ») se démontrent par l'absurde. Pour √(2), on suppose √(2) = p/q avec une fraction irréductible ; on montre que p et q sont pairs tous les deux, donc que la fraction n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse.

Par contraposée

Raisonner par contraposée : Pour démontrer « si P, alors Q », il est parfois plus simple de démontrer sa contraposée « si non Q, alors non P », qui est vraie en même temps qu'elle.

C'est ainsi qu'on a obtenu, au § 7, « si n² est pair, alors n est pair » à partir de « si n est impair, alors n² est impair ».

À retenir

Résumé :

1. x ∈ A : x est un élément de A. A ⊂ B : tout élément de A est un élément de B. ∅ est l'ensemble vide.

2. A ∩ B : dans A et dans B ; A ∪ B : dans A ou dans B ; A̅ = E ∖ A : dans E, mais pas dans A ; Card(A) : le nombre d'éléments de A.

3. E × F est l'ensemble des couples (a ; b) avec a ∈ E et b ∈ F ; dans un couple, l'ordre compte.

4. La négation de « P et Q » est « non P ou non Q » ; celle de « P ou Q » est « non P et non Q ».

5. Un seul contre-exemple suffit à montrer qu'une propriété « pour tout » est fausse ; des exemples ne démontrent pas qu'elle est vraie.

6. Réciproque de « si P, alors Q » : « si Q, alors P », qui peut être fausse. Contraposée : « si non Q, alors non P », vraie exactement quand l'implication l'est.

7. On raisonne par disjonction des cas, par l'absurde ou par contraposée.