Arithmétique : multiples, diviseurs, parité

Introduction

Peut-on ranger 156 élèves en rangées de 12 sans laisser de place vide ? Un bus qui part toutes les 12 minutes à partir de 7 h passera-t-il à 9 h 24 ? Ces questions ne demandent aucun calcul compliqué : elles demandent de savoir si un entier est multiple d'un autre. Cette leçon donne le vocabulaire des entiers, et deux premières démonstrations.

1. Les ensembles ℕ et ℤ

Deux ensembles d'entiers : ℕ est l'ensemble des entiers naturels : ℕ = {0, 1, 2, 3, …}.

ℤ est l'ensemble des entiers relatifs : ℤ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Tout entier naturel est un entier relatif : ℕ ⊂ ℤ.

La somme, la différence et le produit de deux entiers relatifs sont encore des entiers relatifs. Ce fait tout simple est ce qui fait marcher les démonstrations de cette leçon.

2. Multiples et diviseurs

Multiple, diviseur : Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a est un multiple de b s'il existe un entier relatif k tel que

a = k × b.

On dit alors aussi que b est un diviseur de a, ou que b divise a.

Exemples :

• 91 = 13 × 7 : 91 est un multiple de 7, et 7 est un diviseur de 91. De même, 13 divise 91.
• -24 = (-3) × 8 : -24 est un multiple de 8, car k = -3 est bien un entier relatif.
• 0 = 0 × 5 : 0 est un multiple de tout entier.

Le facteur k doit être un entier : 6 = 1/4 × 24, mais 1/4 n'est pas un entier : 6 n'est pas un multiple de 24. En revanche 24 = 4 × 6 est un multiple de 6.

« a est un multiple de b » et « b est un multiple de a » ne disent donc pas la même chose.

Tester si a est un multiple de b : Pour b ≠ 0, on divise a par b : si le quotient est un entier, a est un multiple de b ; sinon, il ne l'est pas.

Exemple : 156/12 = 13, donc 156 = 13 × 12 est un multiple de 12, et les 156 élèves tiennent en 13 rangées complètes. Au contraire, 100/12 ≈ 8,33 n'est pas un entier : 100 n'est pas un multiple de 12.

Les diviseurs positifs de 36 : On les cherche par paires dont le produit vaut 36 :

36 = 1 × 36 = 2 × 18 = 3 × 12 = 4 × 9 = 6 × 6

Les diviseurs positifs de 36 sont donc 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36. On s'arrête quand les deux facteurs se rejoignent (6 × 6) : au-delà, on retrouverait les mêmes paires.

3. Nombres pairs, nombres impairs

Pair, impair : Un entier n est pair s'il est multiple de 2, c'est-à-dire s'il existe un entier k tel que n = 2k.

Il est impair s'il existe un entier k tel que n = 2k + 1.

Exemples :

• 14 = 2 × 7 est pair ; 15 = 2 × 7 + 1 est impair.
• -3 = 2 × (-2) + 1 est impair ; 0 = 2 × 0 est pair.

On admet que tout entier est soit pair, soit impair, jamais les deux.

4. Deux démonstrations à connaître

Somme de deux multiples : Soit a un entier. La somme de deux multiples de a est un multiple de a.

Démonstration : Soient m et n deux multiples de a. Par définition, il existe deux entiers k et k' tels que m = ka et n = k'a.

Alors m + n = ka + k'a = (k + k') a.

Comme k et k' sont des entiers, k + k' est un entier : m + n s'écrit sous la forme (entier) × a, c'est donc un multiple de a.

Avec a = 7 : 21 = 3 × 7 et 35 = 5 × 7, donc 21 + 35 = (3 + 5) × 7 = 8 × 7 = 56.

Deux lettres différentes, et pas d'exemple à la place d'une preuve : On écrit m = ka et n = k'a avec deux lettres : écrire m = ka et n = ka supposerait que m et n sont égaux.

Vérifier sur un exemple, comme 21 + 35 = 56, ne démontre rien : il faut un calcul valable pour tous les multiples de a.

La même démonstration montre que la différence de deux multiples de a est un multiple de a : m - n = (k - k') a.

Carré d'un nombre impair : Le carré d'un nombre impair est impair.

Démonstration : Soit n un entier impair : il existe un entier k tel que n = 2k + 1.

Alors n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1.

Le nombre K = 2k² + 2k est un entier, puisque k en est un. Donc n² = 2K + 1 : n² est impair.

Contrôle sur n = 7 : 7 = 2 × 3 + 1, donc k = 3 et K = 2 × 9 + 2 × 3 = 24 : on doit trouver 7² = 2 × 24 + 1 = 49. C'est bien le cas.

Une conséquence qui servira : Si n² est pair, alors n est pair : en effet, si n était impair, n² serait impair d'après la propriété. Ce raisonnement est la clé de la démonstration de l'irrationalité de √(2), dans la leçon suivante.

5. Fractions irréductibles

Fraction irréductible : Une fraction a/b d'entiers (b ≠ 0) est irréductible lorsque 1 est le seul diviseur positif commun à a et à b.

Rendre une fraction irréductible : Diviser le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun, et recommencer tant qu'il en reste un :

84/120 = 42/60 = 21/30 = 7/10

Deux divisions par 2, puis une par 3. Les diviseurs positifs de 7 sont 1 et 7, et 7 ne divise pas 10 : la fraction 7/10 est irréductible.

6. Modéliser un problème

Trois entiers consécutifs : Énoncé. Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

Modélisation. On note n le plus petit des trois : ce sont n, n + 1 et n + 2.

Calcul. n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1).

Conclusion. Comme n + 1 est un entier, la somme est un multiple de 3. Par exemple, 14 + 15 + 16 = 45 = 3 × 15.

Un bus toutes les 12 minutes : Un bus part du terminus à 7 h 00, puis toutes les 12 minutes. Part-il un bus à 9 h 24 ? à 10 h 10 ?

De 7 h 00 à 9 h 24, il s'écoule 144 minutes, et 144 = 12 × 12 est un multiple de 12 : un bus part à 9 h 24.

De 7 h 00 à 10 h 10, il s'écoule 190 minutes. Or 190/12 ≈ 15,8 n'est pas un entier : aucun bus ne part à 10 h 10. Il en part un à 10 h 00, au bout de 180 = 15 × 12 minutes.

7. Deux algorithmes

Un entier a est-il un multiple de b ?

Pour deux entiers naturels a et b, avec b ≠ 0, on retire b à a autant de fois que possible : a est un multiple de b exactement quand il ne reste rien. En langage naturel, la flèche « ← » se lit « prend la valeur » :

r ← a
Tant que r ⩾ b
    r ← r − b
Fin Tant que
Si r = 0
    afficher « a est un multiple de b »
Sinon
    afficher « a n'est pas un multiple de b »
Fin Si

En Python, la fonction renvoie un booléen, c'est-à-dire « True » (vrai) ou « False » (faux) :

def est_multiple(a, b):
    r = a
    while r >= b:
        r = r - b
    return r == 0

print(est_multiple(156, 12))

Il affiche « True » : 156 = 13 × 12. Appelée avec 190 et 12, la fonction renverrait « False », puisqu'il resterait 10.

Le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b

Pour deux entiers naturels a et b, avec a ≠ 0, on part de 0 et on ajoute a tant qu'on ne dépasse pas b :

m ← 0
Tant que m + a ⩽ b
    m ← m + a
Fin Tant que
Afficher m

def plus_grand_multiple(a, b):
    m = 0
    while m + a <= b:
        m = m + a
    return m

print(plus_grand_multiple(12, 250))

Il affiche 240 : 240 = 20 × 12 ≤ 250, alors que le multiple suivant, 252 = 21 × 12, dépasse 250. Avec 250 œufs, on remplit donc 20 boîtes de 12, et il reste 10 œufs.

La condition de la boucle : On teste m + a ≤ b avant d'ajouter a. Avec la condition « Tant que m ⩽ b », la boucle ajouterait a une fois de trop, et l'algorithme afficherait 252, qui dépasse 250.

À retenir

Résumé :

1. a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = kb ; on dit aussi que b divise a.

2. n est pair s'il s'écrit 2k, impair s'il s'écrit 2k + 1, avec k entier.

3. La somme (et la différence) de deux multiples de a est un multiple de a.

4. Le carré d'un nombre impair est impair ; donc si n² est pair, n est pair.

5. Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont que 1 comme diviseur positif commun.