Intervalles et valeur absolue
Introduction
Les intervalles permettent de décrire des ensembles de nombres réels de manière concise. La valeur absolue mesure la « distance à zéro » d'un nombre. Ces deux notions sont liées et très utilisées en analyse.
1. Les intervalles de R
Intervalles bornés
Intervalles bornés : Soient a et b deux nombres réels avec a < b :
| Notation | Ensemble | Description |
|---|---|---|
| [a ; b] | {x R a x b} | Fermé (bornes incluses) |
| ]a ; b[ | {x R a < x < b} | Ouvert (bornes exclues) |
| [a ; b[ | {x R a x < b} | Semi-ouvert à droite |
| ]a ; b] | {x R a < x b} | Semi-ouvert à gauche |
Astuce visuelle :
- Crochet fermé [ ou ] → la borne est incluse (point plein sur la droite)
- Crochet ouvert ] ou [ → la borne est exclue (point vide sur la droite)
Exemple : L'intervalle [-2 ; 5[ contient tous les nombres réels x tels que -2 x < 5.
- -2 [-2 ; 5[ ✅ (borne gauche incluse)
- 5 [-2 ; 5[ ❌ (borne droite exclue)
- 3{,}7 [-2 ; 5[ ✅
Intervalles non bornés
Intervalles non bornés :
| Notation | Ensemble | Description |
|---|---|---|
| [a ; +[ | {x R x a} | À partir de a (inclus) |
| ]a ; +[ | {x R x > a} | Après a (exclus) |
| ]- ; b] | {x R x b} | Jusqu'à b (inclus) |
| ]- ; b[ | {x R x < b} | Avant b (exclus) |
| ]- ; +[ | R | Tous les réels |
Attention :
- et - ne sont pas des nombres réels. Le crochet est donc toujours ouvert du côté de l'infini.
2. Opérations sur les intervalles
Intersection
Intersection : L'intersection de deux intervalles I et J, notée I J, est l'ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à I et à J.
Exemple : [formule]
Les nombres qui sont à la fois dans [-3 ; 5] et dans [1 ; 8] sont ceux de [1 ; 5].
Réunion
Réunion : La réunion de deux intervalles I et J, notée I J, est l'ensemble des nombres qui appartiennent à I ou à J (ou aux deux).
Exemple : [formule]
[formule]
(tous les réels sauf 0)
3. La valeur absolue
Définition
Valeur absolue : La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est définie par :
[formule]
Autrement dit, |x| est la distance de x à 0 sur la droite graduée.
Exemples :
- |5| = 5
- |-3| = 3
- |0| = 0
- | - 4| = 4 - car - 4 < 0
4. Propriétés de la valeur absolue
Propriétés : Pour tous réels x et y :
|x| 0 (toujours positive ou nulle)
|x| = 0 x = 0
|-x| = |x| (parité)
|xy| = |x| |y| (multiplicativité)
|x{y}| = |x|{|y|} (pour y 0)
|x + y| |x| + |y| (inégalité triangulaire)
5. Distance entre deux nombres
Distance : La distance entre deux nombres réels a et b est :
[formule]
Exemple : La distance entre -3 et 5 est :
[formule]
6. Équations et inéquations avec valeur absolue
Résoudre |x| = a
Propriété : Pour a 0 :
[formule]
Exemple : Résoudre |x - 2| = 5 :
[formule]
[formule]
L'ensemble des solutions est S = {-3 ; 7}.
Résoudre |x| a
Propriété : Pour a 0 :
[formule]
Exemple : Résoudre |x - 1| 3 :
[formule]
L'ensemble des solutions est S = [-2 ; 4].
Interprétation : les nombres dont la distance à 1 est inférieure ou égale à 3.
Résoudre |x| a
Propriété : Pour a 0 :
[formule]
À retenir
Résumé :
Un intervalle est un ensemble de réels « consécutifs »
|x| est la distance de x à 0
|a - b| est la distance entre a et b
|x| = a x = a ou x = -a (pour a 0)
|x| a x [-a ; a]
|x| a x ]- ; -a] [a ; +[