Puissances et racines carrées
Introduction
Les puissances et les racines carrées sont des outils de calcul essentiels. Ce cours présente leurs définitions, leurs propriétés et les règles de calcul associées.
1. Les puissances entières
Définition
Puissance d'exposant entier naturel : Soit a un nombre réel et n un entier naturel non nul :
[formule]
Par convention : a^0 = 1 (pour a 0) et a^1 = a.
Puissance d'exposant entier négatif : Pour a 0 et n N^* :
[formule]
Exemples :
- 2^5 = 2 2 2 2 2 = 32
- 10^3 = 1000
- 3^{-2} = 1{3^2} = 1{9}
- 10^{-4} = 1{10^4} = 0{,}0001
2. Propriétés des puissances
Propriétés fondamentales : Pour tous nombres réels a et b (non nuls si nécessaire) et pour tous entiers relatifs m et n :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit de puissances | a^m a^n = a^{m+n} |
| Quotient de puissances | a^m{a^n} = a^{m-n} |
| Puissance d'une puissance | (a^m)^n = a^{m n} |
| Puissance d'un produit | (ab)^n = a^n b^n |
| Puissance d'un quotient | (a{b})^n = a^n{b^n} |
Exemples d'application : 1. Simplifier 2^3 2^5 : [formule]
2. Simplifier 5^7{5^4} : [formule]
3. Simplifier (3^2)^4 : [formule]
4. Simplifier (2 5)^3 : [formule]
3. Notation scientifique
Notation scientifique : Un nombre est en notation scientifique lorsqu'il s'écrit sous la forme :
[formule]
où 1 a < 10 et n Z.
Exemples :
- 3\ 450\ 000 = 3{,}45 10^6
- 0{,}00072 = 7{,}2 10^{-4}
- Vitesse de la lumière : c 3 10^8 m/s
- Taille d'un atome : 10^{-10} m
Astuce : Pour passer en notation scientifique, comptez le nombre de positions dont vous déplacez la virgule :
- Vers la gauche → exposant positif
- Vers la droite → exposant négatif
4. La racine carrée
Définition
Racine carrée : Pour tout nombre réel positif a (a 0), la racine carrée de a, notée a, est l'unique nombre positif dont le carré vaut a :
[formule]
Attention :
- a n'existe que pour a 0
- a est toujours positif (ou nul)
- a^2 = |a| (et non pas a)
Par exemple : (-3)^2 = 9 = 3 = |-3|
5. Propriétés de la racine carrée
Propriétés : Pour tous réels positifs a et b :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | a b = a b |
| Quotient | {a{b}} = {a}{b} (avec b > 0) |
| Carré | (a)^2 = a |
| Racine d'un carré | a^2 = |
Attention : Il n'y a pas de formule pour a + b !
[formule]
Vérification : 9 + 16 = 25 = 5 mais 9 + 16 = 3 + 4 = 7.
6. Simplifier une racine carrée
Méthode : Pour simplifier n, on cherche le plus grand carré parfait qui divise n.
[formule]
Exemples : 1. Simplifier 50 : [formule]
2. Simplifier 72 : [formule]
3. Simplifier 48 : [formule]
7. Rendre un dénominateur rationnel
Méthode : Quand le dénominateur contient une racine carrée, on le rationalise en multipliant le numérateur et le dénominateur par la même expression :
Si le dénominateur est a : multiplier par {a}{a}
Si le dénominateur est a + b : multiplier par a - {b}{a - b} (quantité conjuguée)
Exemples : 1. Rationaliser 3{5} :
[formule]
2. Rationaliser 2{3 + 2} :
[formule]
À retenir
Résumé des formules : Puissances : a^m a^n = a^{m+n}, a^m{a^n} = a^{m-n}, (a^m)^n = a^{mn}
Racine carrée : ab = a b, (a)^2 = a, a^2 = |a|
Notation scientifique : a 10^n avec 1 a < 10