Calcul algébrique

Introduction

Le calcul algébrique est un outil fondamental en mathématiques. Il permet de développer, factoriser et simplifier des expressions contenant des lettres (variables) et des nombres.

1. Développer une expression

Développer : Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme (ou différence).

Distributivité simple

formula [formule]

Exemple : Développer 3(2x + 5) :

[formule]

Double distributivité

formula [formule]

Exemple : Développer (2x + 3)(x - 4) :

[formule]

2. Les identités remarquables

Ce sont des formules de développement à connaître par cœur. Elles sont très utilisées dans tout le lycée.

Carré d'une somme

formula [formule]

Exemple : Développer (3x + 2)^2 :

[formule]

Carré d'une différence

formula [formule]

Exemple : Développer (x - 5)^2 :

[formule]

Produit somme-différence

formula [formule]

Exemple : Développer (2x + 7)(2x - 7) :

[formule]

Erreur fréquente : (a + b)^2 a^2 + b^2 !

Il ne faut jamais oublier le double produit 2ab.

Par exemple : (3 + 4)^2 = 49 mais 3^2 + 4^2 = 25. Ce n'est pas la même chose !

3. Factoriser une expression

Factoriser : Factoriser une expression, c'est transformer une somme (ou différence) en un produit. C'est l'opération inverse du développement.

Factorisation par un facteur commun

Méthode :

1. Identifier le facteur commun à tous les termes

2. Le mettre en facteur

3. Écrire le reste entre parenthèses

Exemple : Factoriser 6x^2 + 9x :

[formule]

Le facteur commun est 3x.

Factorisation avec les identités remarquables

Méthode - Reconnaître les identités :

• Si on voit a^2 + 2ab + b^2 → c'est (a+b)^2

• Si on voit a^2 - 2ab + b^2 → c'est (a-b)^2

• Si on voit a^2 - b^2 → c'est (a+b)(a-b)

Exemples : 1. Factoriser x^2 - 16 :

On reconnaît a^2 - b^2 avec a = x et b = 4 :

[formule]

2. Factoriser 4x^2 + 12x + 9 :

On reconnaît a^2 + 2ab + b^2 avec a = 2x et b = 3 :

[formule]

3. Factoriser 9x^2 - 30x + 25 :

On reconnaît a^2 - 2ab + b^2 avec a = 3x et b = 5 :

[formule]

4. Simplifier une fraction algébrique

Méthode : Pour simplifier une fraction algébrique :

1. Factoriser le numérateur et le dénominateur

2. Simplifier les facteurs communs

Exemple : Simplifier x^2 - 9{x + 3} :

[formule]

Attention : On ne peut simplifier que des facteurs, jamais des termes !

[formule]

Les x ne sont pas des facteurs ici, ce sont des termes d'une somme.

À retenir

Formules essentielles : **Les trois identités remarquables :

[formule] [formule] [formule]

La distributivité :

[formule] [formule]