Les ensembles de nombres

Introduction

En mathématiques, les nombres sont organisés en ensembles qui s'emboîtent les uns dans les autres, chacun apportant de nouvelles possibilités de calcul.

1. Les nombres entiers naturels N

Définition : L'ensemble des entiers naturels, noté N, est l'ensemble des nombres entiers positifs (y compris zéro) :

[formule]

Ces nombres servent à compter et à ordonner. On peut additionner et multiplier deux entiers naturels, et le résultat est toujours un entier naturel.

Attention : La soustraction n'est pas toujours possible dans N. Par exemple, 3 - 7 n'a pas de résultat dans N.

2. Les nombres entiers relatifs Z

Définition : L'ensemble des entiers relatifs, noté Z, est l'ensemble des entiers positifs, négatifs et zéro :

[formule]

L'introduction des nombres négatifs permet de toujours soustraire deux entiers. Par exemple : 3 - 7 = -4 Z.

Exemple :

5 Z et 5 N (un entier naturel est aussi un entier relatif)
-3 Z mais -3 N

3. Les nombres rationnels Q

Définition : L'ensemble des nombres rationnels, noté Q, est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction :

[formule]

où Z^* désigne l'ensemble des entiers relatifs non nuls.

Exemples :

3{4} = 0{,}75 est un rationnel
-1{3} = -0{,}333 est un rationnel (écriture décimale périodique)
5 = 5{1} est un rationnel (tout entier est un rationnel)

Propriété : Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est finie ou périodique.

Par exemple : 1{7} = 0{,}142857 (la séquence 142857 se répète).

4. Les nombres réels R

Définition : L'ensemble des nombres réels, noté R, contient tous les nombres représentables sur la droite graduée. Il comprend les rationnels et les irrationnels.

Un nombre irrationnel est un nombre dont l'écriture décimale est infinie et non périodique.

Nombres irrationnels célèbres :

2 1{,}41421356 (racine carrée de 2)
3{,}14159265 (rapport du périmètre d'un cercle à son diamètre)
e 2{,}71828182 (base du logarithme népérien)

Astuce : Pour montrer qu'un nombre est irrationnel, on peut utiliser un raisonnement par l'absurde. La démonstration de l'irrationalité de 2 est un classique !

5. L'emboîtement des ensembles

Les ensembles de nombres s'emboîtent les uns dans les autres :

formula [formule]

Cela signifie :

Tout entier naturel est un entier relatif
Tout entier relatif est un rationnel
Tout rationnel est un réel

Exemples d'appartenance :

Nombre	N	Z	Q	R
7	✅	✅	✅	✅
-3	❌	✅	✅	✅
2{5}	❌	❌	✅	✅
3	❌	❌	❌	✅
	❌	❌	❌	✅

6. Notation et symboles

Notations importantes :

: « appartient à » → 5 N se lit « 5 appartient à N »
: « n'appartient pas à » → 2 Q
: « est inclus dans » → N Z
Z^* : ensemble privé de zéro → Z^* = Z {0}
R^+ : nombres réels positifs ou nuls
R^- : nombres réels négatifs ou nuls
R^{+*} : nombres réels strictement positifs

À retenir

Résumé :

N Z Q R
Un nombre rationnel a une écriture décimale finie ou périodique
Un nombre irrationnel a une écriture décimale infinie non périodique
2, et e sont des nombres irrationnels