Angles associés : lire le cercle

Trigonométrie — Première Spécialité

Angles associés : lire le cercle

Introduction

Connaître {6} suffit pour connaître 5{6}, 7{6} ou (-{6}) : leurs points images sont les symétriques de M({6}). Il n'y a pas de nouvelle formule à apprendre — il y a un dessin à savoir faire.

1. Trois symétries du cercle

Soit x un réel et M son point image, de coordonnées ( x,;, x).

Opposé : −x : On tourne de la même longueur, mais dans l'autre sens : M(-x) est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses. L'abscisse est conservée, l'ordonnée change de signe :

[formule]

Supplémentaire : π − x : Aller jusqu'au point (-1,;,0), image de , puis revenir de la longueur x : c'est le trajet de M(x) vu dans le miroir de l'axe des ordonnées, qui échange I et (-1,;,0) et renverse le sens de parcours. M( - x) est donc le symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées. L'ordonnée est conservée, l'abscisse change de signe :

[formule]

Demi-tour : π + x : Ajouter , c'est faire un demi-tour de plus : M( + x) est le symétrique de M par rapport à l'origine O. Les deux coordonnées changent de signe :

[formule]

2. Une quatrième : π/2 − x

Complémentaire : π/2 − x : Aller jusqu'à J, image de {2}, puis revenir de la longueur x : c'est le trajet de M(x) vu dans le miroir de la bissectrice, qui échange I et J. M({2} - x) est donc le symétrique de M par rapport à la bissectrice y = x du premier quart. Cette symétrie échange abscisse et ordonnée :

[formule]

C'est elle qui explique le tableau des valeurs remarquables : {6} = {2} - {3}, donc {6} = {3} = {3}{2} et {6} = {3} = 1{2}.

3. La méthode, sur un exemple

Calculer cos et sin d'un réel associé à une valeur remarquable :

  1. Placer le point image.
  2. Reconnaître le réel remarquable a du premier quart ({6}, {4} ou {3}) dont le point est le symétrique : en bas à droite, c'est le point de -a ; en haut à gauche, celui de - a ; en bas à gauche, celui de + a. Au besoin, ajoute ou retire 2 pour faire apparaître cette forme : -5{6} + 2 = 7{6} = + {6}.
  3. Recopier les valeurs de a, en donnant à chacune le signe lu sur le cercle (abscisse : droite ou gauche ; ordonnée : haut ou bas).

Calculer cos(2π/3) et sin(2π/3) : 2{3} = - {3} : le point est le symétrique de M({3}) par rapport à l'axe des ordonnées, dans le quart en haut à gauche. L'abscisse y est négative, l'ordonnée positive :

[formule]

Calculer cos(−5π/4) et sin(−5π/4) : -5{4} n'est pas dans ]-,;,] ; on ajoute un tour : -5{4} + 2 = 3{4} = - {4}. Le point est en haut à gauche, symétrique de M({4}) :

[formule]

L'erreur classique : Appliquer la formule « de mémoire » et se tromper de signe — par exemple écrire ( - x) = x. Le contrôle ne coûte rien : place le point. S'il est à gauche de l'axe vertical, son cosinus est négatif, quelle que soit la formule qu'on croit se rappeler.

À retenir

Résumé :

  1. -x : symétrie d'axe (Ox) — même cosinus, sinus opposé.
    • x : symétrie d'axe (Oy) — même sinus, cosinus opposé.
    • x : symétrie de centre O — tout change de signe.
  4. {2} - x : symétrie par rapport à la bissectrice — cosinus et sinus s'échangent.
  5. En cas de doute, placer le point : le signe se lit sur le cercle.