Cosinus et sinus d'un nombre réel

Introduction

Dans la leçon précédente, chaque réel x a reçu un point image M(x) sur le cercle trigonométrique. Ce point a deux coordonnées : on leur donne un nom. Ce sont elles, le cosinus et le sinus de x — et elles prolongent exactement ce que tu connais du triangle rectangle.

1. Définition

Cosinus et sinus d'un réel : Soit x un réel et M son point image sur le cercle trigonométrique.

• Le cosinus de x, noté x, est l'abscisse de M.
• Le sinus de x, noté x, est l'ordonnée de M.

[formule]

2. Lien avec le triangle rectangle

Prenons x strictement entre 0 et {2}, et notons H le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses. Le triangle OHM est rectangle en H, son hypoténuse OM vaut 1 (c'est un rayon), et l'angle HOM mesure x radians.

Le cosinus du collège donne alors :

[formule]

et OH est précisément l'abscisse de M. De même, HOM = HM{OM} = HM, l'ordonnée de M.

Les deux définitions coïncident : Pour un angle aigu, le cosinus et le sinus du triangle rectangle sont exactement l'abscisse et l'ordonnée du point du cercle trigonométrique. La nouvelle définition prolonge l'ancienne à tous les réels, y compris négatifs ou supérieurs à {2}.

3. Premières propriétés

Propriétés immédiates : Pour tout réel x et tout entier relatif k :

1. -1 x 1 et -1 x 1, puisque M est sur un cercle de rayon 1 ;
2. ^2 x + ^2 x = 1 : c'est la distance OM = 1, écrite avec le théorème de Pythagore ;
3. (x + 2k) = x et (x + 2k) = x, puisque x et x + 2k ont le même point image.

Le signe se lit sur le cercle :

• x > 0 quand M est à droite de l'axe des ordonnées, x < 0 à gauche ;
• x > 0 quand M est au-dessus de l'axe des abscisses, x < 0 en dessous.

On numérote souvent ces quatre quarts, appelés quadrants : le 1er en haut à droite, le 2e en haut à gauche, le 3e en bas à gauche, le 4e en bas à droite.

Avant tout calcul, placer le point donne donc déjà les deux signes.

4. Valeurs remarquables

Tableau des valeurs remarquables :

Pour ne pas les intervertir : Écris les sinus sous la forme {0}{2}, {1}{2}, {2}{2}, {3}{2}, {4}{2} : ils croissent. Les cosinus sont les mêmes, dans l'ordre inverse — quand le point monte vers J, son abscisse diminue.

Démonstration : cos(π/4) et sin(π/4)

{4} est la moitié de {2} : l'arc de I à M({4}) est la moitié de l'arc de I à J, donc M({4}) est sur la bissectrice de l'angle IOJ, la droite d'équation y = x : ses deux coordonnées sont égales et positives. Notons c = {4} = {4}. La relation ^2 x + ^2 x = 1 donne :

[formule]

Démonstration : cos(π/3) et sin(π/3)

Soit M = M({3}). Le triangle OIM a deux côtés égaux à 1 (OI et OM sont des rayons) et un angle de {3}, soit 60°, entre eux. Il est isocèle en O, donc ses deux angles à la base sont égaux, et chacun mesure 180° - 60°{2} = 60° : il est équilatéral. Le projeté H de M sur (OI) est donc le pied d'une hauteur, qui est aussi médiane : H est le milieu de [OI], et OH = 1{2}. Ainsi :

[formule]

Puis, avec {3} > 0 :

[formule]

Les valeurs en {6} s'en déduisent par symétrie par rapport à la bissectrice (leçon suivante) : les rôles du cosinus et du sinus s'échangent.

À retenir

Résumé :

1. x et x sont l'abscisse et l'ordonnée du point image de x.
2. Pour un angle aigu, ce sont le cosinus et le sinus du triangle rectangle.
3. -1 x 1, -1 x 1, ^2 x + ^2 x = 1.
4. Valeurs remarquables : {3} = {6} = 1{2}, {4} = {4} = {2}{2}, {6} = {3} = {3}{2}.