Équations trigonométriques et formules

1. Formules d'addition

Formules d'addition : Pour tous réels a et b :

[formule]

Exemple : Calculer {12}.

On écrit {12} = {3} - {4}, donc :

[formule]

Exemple : Calculer 5{12}.

On écrit 5{12} = {4} + {6}, donc :

[formule]

2. Formules de duplication

Formules de duplication : Pour tout réel a :

[formule]

Ce qui donne les trois formes équivalentes :

[formule]

Attention : Ne pas confondre (2a) = 2 a a avec 2(a). Le facteur 2 multiplie le produit a a, et non seul.

Formules de linéarisation : Ces formules sont utiles pour simplifier des expressions :

[formule]

Exemple : Simplifier 2^2 x - 1.

En utilisant (2a) = 2^2 a - 1, on obtient directement :

[formule]

3. Résolution de x = a

Résolution de x = a : L'équation x = a admet pour solutions :

[formule]

Interprétation sur le cercle trigonométrique : les points ayant la même abscisse (même cosinus) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

Exemple : Résoudre x = {5} sur [- ; ].

[formule]

Sur [- ; ] (pour k = 0) : S = {-{5} ; {5}}.

Exemple : Résoudre x = {3}{2}.

On sait que {6} = {3}{2}, donc x = {6} :

[formule]

4. Résolution de x = a

Résolution de x = a : L'équation x = a admet pour solutions :

[formule]

Interprétation sur le cercle trigonométrique : les points ayant la même ordonnée (même sinus) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple : Résoudre x = {3} sur [0 ; 2].

[formule]

Sur [0 ; 2] (pour k = 0) : S = {{3} ; 2{3}}.

5. Méthode graphique

Lecture sur le cercle trigonométrique : Pour résoudre graphiquement une équation du type x = a ou x = a :

Pour x = a :

Tracer la droite verticale d'équation x = a (parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point (a ; 0)).
Les points d'intersection avec le cercle trigonométrique donnent les solutions.
Il y a 0, 1 ou 2 points d'intersection selon la valeur de a.

Pour x = a :

Tracer la droite horizontale d'équation y = a (parallèle à l'axe des abscisses passant par le point (0 ; a)).
Les points d'intersection avec le cercle trigonométrique donnent les solutions.
Il y a 0, 1 ou 2 points d'intersection selon la valeur de a.

Attention : L'équation x = a (resp. x = a) n'a aucune solution si |a| > 1.

Elle a une seule famille de solutions si a = 1 ou a = -1.

6. Applications

Application 1 : résoudre 2^2 x - 1 = 0 : On reconnaît (2x) = 2^2 x - 1, donc l'équation devient :

[formule]

2x = {2} + k x = {4} + k{2} (k Z)

Soit : S = {{4} + k{2}, ; k Z}.

Application 2 : résoudre (2x) = x : On utilise (2x) = 2 x x :

[formule]

Cas 1 : x = 0 x = {2} + k

Cas 2 : x = 1{2} x = {6} + 2k ou x = 5{6} + 2k

Application 3 : résoudre (2x) = x : (2x) = x donne :

2x = x + 2k ou 2x = -x + 2k

Cas 1 : x = 2k

Cas 2 : 3x = 2k x = 2k{3}

Les solutions sont x = 2k{3} (qui inclut le cas 1 pour k multiple de 3).

À retenir

Résumé :

(a b) = a b a b et (a b) = a b a b.
(2a) = 2^2 a - 1 = 1 - 2^2 a et (2a) = 2 a a.
x = a x = a + 2k ou x = -a + 2k.
x = a x = a + 2k ou x = - a + 2k.
Toujours vérifier si |a| 1 pour que l'équation ait des solutions.
Pour les équations complexes : factoriser, utiliser les formules de duplication et se ramener à des équations élémentaires.