Fonctions sinus et cosinus

Fonctions trigonométriques — Première Spécialité

Fonctions sinus et cosinus

1. La fonction cosinus

Fonction cosinus : La fonction cosinus est la fonction définie sur R par f(x) = x.

  • Ensemble de définition : D_f = R
  • Ensemble image : x [-1 ; 1] pour tout x R

Parité de la fonction cosinus : La fonction cosinus est paire :

[formule]

Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Périodicité de la fonction cosinus : La fonction cosinus est périodique de période 2 :

[formule]

Il suffit donc de l'étudier sur un intervalle de longueur 2, par exemple [0 ; 2].

Courbe de la fonction cosinus : La courbe de part de (0 ; 1), descend jusqu'à ( ; -1), puis remonte à (2 ; 1).

Elle coupe l'axe des abscisses en x = {2} et x = 3{2}.

2. La fonction sinus

Fonction sinus : La fonction sinus est la fonction définie sur R par g(x) = x.

  • Ensemble de définition : D_g = R
  • Ensemble image : x [-1 ; 1] pour tout x R

Parité de la fonction sinus : La fonction sinus est impaire :

[formule]

Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine O.

Périodicité de la fonction sinus : La fonction sinus est périodique de période 2 :

[formule]

Il suffit donc de l'étudier sur un intervalle de longueur 2, par exemple [0 ; 2].

Courbe de la fonction sinus : La courbe de part de (0 ; 0), monte jusqu'à ({2} ; 1), redescend en passant par ( ; 0), atteint (3{2} ; -1), puis remonte à (2 ; 0).

Elle coupe l'axe des abscisses en x = 0, x = et x = 2.

3. Dérivées des fonctions trigonométriques

Dérivées : Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R :

[formule]

[formule]

Exemple : Soit f(x) = 3 x + 2 x. Calculer f'(x).

f'(x) = 3 (- x) + 2 x = -3 x + 2 x

Attention : Ne pas confondre les dérivées ! La dérivée de est - (avec un signe négatif), tandis que la dérivée de est (sans signe négatif).

4. Variations sur [0 ; 2]

Tableau de variations de sur [0 ; 2 :] On utilise '(x) = - x.

  • Sur [0 ; ] : x 0 donc '(x) = - x 0 → ** est décroissante**
  • Sur [ ; 2] : x 0 donc '(x) = - x 0 → ** est croissante**
x 0 2
'(x) 0 - 0 + 0
x 1 -1 1

Tableau de variations de sur [0 ; 2 :] On utilise '(x) = x.

  • Sur [0 ; {2}] : x 0 donc '(x) 0 → ** est croissante**
  • Sur [{2} ; 3{2}] : x 0 donc '(x) 0 → ** est décroissante**
  • Sur [3{2} ; 2] : x 0 donc '(x) 0 → ** est croissante**
x 0 {2} 3{2} 2
'(x) 1 + 0 - 0 + 1
x 0 1 -1 0

5. Extremums, zéros et positions relatives

Extremums et zéros de : Sur [0 ; 2] :

  • Maximum : x = 1 atteint en x = 0 et x = 2
  • Minimum : x = -1 atteint en x =
  • Zéros : x = 0 pour x = {2} et x = 3{2}

Extremums et zéros de : Sur [0 ; 2] :

  • Maximum : x = 1 atteint en x = {2}
  • Minimum : x = -1 atteint en x = 3{2}
  • Zéros : x = 0 pour x = 0, x = et x = 2

Positions relatives : Sur [0 ; {2}] : x x pour x [0 ; {4}] et x x pour x [{4} ; {2}].

Les courbes de et se croisent en x = {4} + k (car x = x x = 1).

6. Formules fondamentales

Identité fondamentale : Pour tout réel x :

[formule]

Formules de symétrie :

Formule Cosinus Sinus
Parité (-x) = x (-x) = - x
Complémentaire ({2} - x) = x ({2} - x) = x
Supplémentaire ( - x) = - x ( - x) = x
Décalage de (x + ) = - x (x + ) = - x

Valeurs remarquables :

x 0 {6} {4} {3} {2}
x 1 {3}{2} {2}{2} 1{2} 0 -1
x 0 1{2} {2}{2} {3}{2} 1 0

À retenir

Résumé :

  1. La fonction est paire, la fonction est impaire. Toutes deux sont 2-périodiques.

  2. ( x)' = - x et ( x)' = x.

  3. Sur [0 ; 2], est décroissante sur [0 ; ] puis croissante sur [ ; 2].

  4. Sur [0 ; 2], est croissante sur [0 ; {2}], décroissante sur [{2} ; 3{2}], puis croissante sur [3{2} ; 2].

  5. Les maximums valent 1 et les minimums valent -1.

  6. ^2 x + ^2 x = 1 pour tout x R.