Trigonométrie
1. Le cercle trigonométrique
Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O, de rayon 1, muni d'un sens de parcours positif (sens inverse des aiguilles d'une montre).
Tout réel x correspond à un unique point M sur le cercle, obtenu en « enroulant » la droite des réels autour du cercle.
2. Mesure en radians
Radian : L'angle de 1 radian est l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle de rayon 1.
[formule]
Conversions courantes :
| Degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | 0 | {6} | {4} | {3} | {2} | 2 |
3. Cosinus et sinus
Cosinus et sinus : Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel x. Les coordonnées de M sont :
[formule]
- x est l'abscisse de M (projection sur l'axe horizontal)
- x est l'ordonnée de M (projection sur l'axe vertical)
Propriété fondamentale : Pour tout réel x :
[formule]
En conséquence : -1 x 1 et -1 x 1.
4. Valeurs remarquables
Tableau des valeurs remarquables :
| x | 0 | {6} | {4} | {3} | {2} | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x | 1 | {3}{2} | {2}{2} | 1{2} | 0 | -1 |
| x | 0 | 1{2} | {2}{2} | {3}{2} | 1 | 0 |
Mnémotechnique : Pour retenir les valeurs de dans l'ordre 0, {6}, {4}, {3}, {2} :
[formule]
Les cosinus sont dans l'ordre inverse.
5. Propriétés de symétrie
Formules de symétrie : Pour tout réel x :
Parité :**
(-x) = x (cosinus est pair)
(-x) = - x (sinus est impair)
Complémentaire :**
({2} - x) = x
({2} - x) = x
Supplémentaire :**
( - x) = - x
( - x) = x
Décalage de :**
(x + ) = - x
(x + ) = - x
6. Périodicité
Périodicité : Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2 :
[formule]
Il suffit d'étudier ces fonctions sur un intervalle de longueur 2, par exemple [0 ; 2] ou [- ; ].
7. Équations trigonométriques simples
Résolution d'équations trigonométriques : Équation x = a avec a [-1;1] :
x = + 2k ou x = - + 2k (k Z)
où est une solution particulière telle que = a.
Équation x = a avec a [-1;1] :
x = + 2k ou x = - + 2k (k Z)
où est une solution particulière telle que = a.
Exemple : Résoudre x = 1{2}.
On sait que ({3}) = 1{2}, donc :
[formule]
Exemple : Résoudre x = {2}{2}.
On sait que ({4}) = {2}{2}, donc :
[formule]
À retenir
Résumé :
^2 x + ^2 x = 1
(-x) = x (pair), (-x) = - x (impair)
Valeurs clés : {3} = 1{2}, {6} = 1{2}, {4} = {4} = {2}{2}
x = a x = + 2k
x = a x = + 2k ou x = - + 2k