Vitesse instantanée et coût marginal

Énoncé

a) Une bille lâchée sans vitesse initiale a parcouru, au bout de t secondes, la distance d(t) = 4,9 t² (en mètres). 1) Calculer sa vitesse moyenne entre t = 1 et t = 3. 2) Pour h ≠ 0, calculer le taux de variation de d entre 2 et 2 + h. En déduire la vitesse instantanée de la bille à l'instant t = 2. b) Le coût de fabrication de q objets est C(q) = q² + 10q + 50, en euros. Calculer C'(20), puis le coût de fabrication du 21ᵉ objet, C(21) - C(20). Interpréter.

Indice : Une vitesse moyenne est un taux de variation ; une vitesse instantanée est un nombre dérivé.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Un taux de variation mesure une variation moyenne sur un intervalle ; le nombre dérivé mesure une variation instantanée. En cinématique, ce sont la vitesse moyenne et la vitesse instantanée. En économie, le nombre dérivé du coût est le coût marginal, à peu près le coût d'un objet supplémentaire. Deux lectures du nombre dérivé : Vitesse moyenne entre t₁ et t₂ : (d(t₂) - d(t₁))/(t₂ - t₁). Vitesse instantanée à l'instant t : d'(t). Coût marginal pour q objets : C'(q), proche de C(q + 1) - C(q).
2. Étape 2 : a) 1) d(3) = 4,9 × 9 = 44,1 m et d(1) = 4,9 m. Vitesse moyenne : (44,1 - 4,9)/(3 - 1) = (39,2)/2 = 19,6 m/s.

   vₘₒy = 19,6 m/s

3. Étape 3 : a) 2) d(2 + h) = 4,9(4 + 4h + h²) = 19,6 + 19,6h + 4,9h² et d(2) = 19,6. Le taux de variation vaut donc : (19,6h + 4,9h²)/h = 19,6 + 4,9h. Quand h se rapproche de 0, il se rapproche de 19,6 : la vitesse instantanée à t = 2 est d'(2) = 19,6 m/s, soit environ 70,6 km/h. Contrôle avec les formules du cours : d'(t) = 4,9 × 2t = 9,8 t, donc d'(2) = 19,6 ✓

   d'(2) = 19,6 m/s

4. Étape 4 : b) C'(q) = 2q + 10, donc C'(20) = 50. C(21) = 441 + 210 + 50 = 701 et C(20) = 400 + 200 + 50 = 650, d'où C(21) - C(20) = 51. Le coût marginal C'(20) = 50 € estime très bien le coût du 21ᵉ objet, 51 € : c'est l'approximation linéaire C(20 + 1) ≈ C(20) + C'(20) × 1.

   C'(20) = 50 ; C(21) - C(20) = 51

5. Étape 5 : L'erreur classique : Croire que vitesse moyenne et vitesse instantanée sont toujours égales. Ici, la vitesse moyenne entre 1 et 3 vaut aussi 19,6 m/s, mais c'est une particularité des fonctions du second degré : la vitesse moyenne sur [t₁ ; t₂] y est la vitesse instantanée au milieu de l'intervalle. Entre 0 et 2, la vitesse moyenne n'est que de 9,8 m/s, la moitié de la vitesse atteinte en t = 2. À retenir : Le taux de variation est une moyenne sur un intervalle, le nombre dérivé une valeur à un instant. En économie, C'(q) estime le coût d'un objet supplémentaire.