Fonctions paires et impaires

Énoncé

a) Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre. Justifier. - f(x) = x⁴ - 3x² + 1, sur ℝ - g(x) = x³ - 5x, sur ℝ - h(x) = x² + x, sur ℝ - k(x) = 2/x, sur ℝ^* b) Quelle symétrie présente la courbe d'une fonction paire ? Celle d'une fonction impaire ? c) Une fonction u est impaire sur [-3 ; 3]. Sur [0 ; 3], elle est croissante sur [0 ; 1], avec u(0) = 0 et u(1) = 2, puis décroissante sur [1 ; 3], avec u(3) = -1. Dresser le tableau de variations de u sur [-3 ; 3].

Indice : Calcule f(-x) et compare-le à f(x) et à -f(x). Pour montrer qu'une fonction n'est pas paire, un seul contre-exemple suffit.

Correction

  1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. La parité se teste en remplaçant x par -x. Le domaine doit être symétrique par rapport à 0 : avec x, il contient -x. C'est le cas de ℝ, de ℝ^* et de [-3 ; 3]. Fonctions paires et impaires : f est paire si f(-x) = f(x) pour tout x de son domaine : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. f est impaire si f(-x) = -f(x) pour tout x de son domaine : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. 👉 Comme (-x)² = x² et (-x)³ = -x³, les puissances paires effacent le signe, les puissances impaires le gardent.
  2. Étape 2 : a) f(-x) = (-x)⁴ - 3(-x)² + 1 = x⁴ - 3x² + 1 = f(x) : f est paire. g(-x) = (-x)³ - 5(-x) = -x³ + 5x = -(x³ - 5x) = -g(x) : g est impaire. k(-x) = 2/(-x) = -2/x = -k(x) : k est impaire.
  3. Étape 3 : Pour h : h(1) = 1 + 1 = 2 et h(-1) = 1 - 1 = 0. Comme h(-1) ≠ h(1), h n'est pas paire ; comme h(-1) ≠ -h(1) = -2, elle n'est pas impaire. h n'est ni paire ni impaire : ce contre-exemple suffit à le prouver.
  4. Étape 4 : b) La courbe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : les points (x ; f(x)) et (-x ; f(x)) sont symétriques par rapport à cet axe. La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine : les points (x ; f(x)) et (-x ; -f(x)) sont symétriques par rapport à O.
  5. Étape 5 : c) Comme u est impaire : u(-1) = -u(1) = -2 et u(-3) = -u(3) = 1. Le sens de variation se transporte : si 0 ≤ a < b ≤ 1, alors u(a) < u(b), donc u(-b) = -u(b) < -u(a) = u(-a). Sur [-1 ; 0], les images sont rangées dans le même ordre que les nombres -b < -a : u y est croissante. De même, u est décroissante sur [-3 ; -1], comme sur [1 ; 3]. | x | -3 | | -1 | | 1 | | 3 | |---|---|---|---|---|---|---|---| | u | 1 | décroît | -2 | croît | 2 | décroît | -1 |
  6. Étape 6 : L'erreur classique : Confondre paire et impaire : une fonction paire vérifie f(-x) = f(x), comme x² ; une fonction impaire vérifie f(-x) = -f(x), comme x³. Autre faute : prouver la parité sur un seul exemple. Pour prouver qu'une fonction est paire, il faut un calcul valable pour tout x ; pour prouver qu'elle ne l'est pas, un seul contre-exemple suffit. À retenir : Paire : f(-x) = f(x), symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. Impaire : f(-x) = -f(x), symétrie par rapport à l'origine. Il suffit alors d'étudier la fonction pour x ≥ 0, et de compléter par symétrie.