Position relative de deux courbes

Énoncé

Sur ]0 ; +∞[, on considère f(x) = x² et g(x) = 1/x, de courbes Cf et Cg. On pose d(x) = f(x) - g(x). a) Calculer d'(x) et en déduire le sens de variation de d sur ]0 ; +∞[. b) Calculer d(1), puis en déduire le signe de d(x) selon les valeurs de x. c) En déduire la position relative de Cf et Cg.

Indice : d'(x) = 2x + 1/(x²) est une somme de deux termes positifs. Une fonction strictement croissante qui s'annule en 1 est négative avant 1 et positive après.

Correction

  1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. « Cf est au-dessus de Cg » veut dire que, pour une même abscisse x, le point de Cf est plus haut : f(x) ≥ g(x). Étudier la position relative, c'est donc étudier le signe de la différence d(x) = f(x) - g(x). Position relative : Sur un intervalle I : si f(x) - g(x) > 0, Cf est au-dessus de Cg ; si f(x) - g(x) < 0, elle est en dessous ; les courbes se coupent aux points où f(x) - g(x) = 0. 👉 Quand le signe de d ne se lit pas directement, on passe par ses variations.
  2. Étape 2 : a) d(x) = x² - 1/x, donc d'(x) = 2x - (-1/(x²)) = 2x + 1/(x²). Pour x > 0, 2x > 0 et 1/(x²) > 0, donc d'(x) > 0 : la fonction d est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

    d'(x) = 2x + 1/(x²) > 0

  3. Étape 3 : b) d(1) = 1 - 1 = 0. Comme d est strictement croissante : - si 0 < x < 1, d(x) < d(1) = 0 ; - si x > 1, d(x) > d(1) = 0. Contrôle : d(1/2) = 1/4 - 2 = -7/4 < 0 et d(2) = 4 - 1/2 = 7/2 > 0 ✓

    d(x) < 0 sur ]0 ; 1[, d(x) > 0 sur ]1 ; +∞[

  4. Étape 4 : c) Sur ]0 ; 1[, f(x) < g(x) : Cf est en dessous de Cg. Sur ]1 ; +∞[, f(x) > g(x) : Cf est au-dessus de Cg. Les deux courbes se coupent en un seul point, de coordonnées (1 ; 1).
  5. Étape 5 : L'erreur classique : Comparer les dérivées au lieu des fonctions : « f'(x) = 2x est plus grand que g'(x) = -1/(x²), donc Cf est au-dessus ». C'est faux sur ]0 ; 1[ : comparer des pentes ne dit rien des hauteurs. Autre inversion fréquente : d(x) > 0 veut dire f(x) > g(x), donc Cf au-dessus, et non en dessous. À retenir : Position relative de Cf et Cg = signe de f(x) - g(x). Si ce signe ne se lit pas par factorisation, étudier les variations de la différence, et repérer où elle s'annule.