Démontrer une inégalité par l'étude des variations
Énoncé
On veut démontrer que, pour tout réel x ≥ 0 :
x³ + 16 ≥ 12x
On pose g(x) = x³ - 12x + 16 pour x ≥ 0.
a) Calculer g'(x) et étudier son signe sur [0 ; +∞[.
b) Dresser le tableau de variations de g sur [0 ; +∞[.
c) En déduire l'inégalité demandée. Pour quelle valeur de x y a-t-il égalité ?
Indice : g'(x) = 3x² - 12 = 3(x - 2)(x + 2). Une fonction dont le minimum vaut 0 est positive ou nulle.
Correction
- Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Comparer deux expressions, c'est étudier le signe de leur différence : x³ + 16 ≥ 12x équivaut à g(x) = x³ - 12x + 16 ≥ 0. Le signe de g ne se lit pas directement ; la dérivée, elle, donne le minimum de g.
Établir une inégalité par l'étude des variations :
1. Étudier g(x) = (membre de gauche) - (membre de droite).
2. Dresser le tableau de variations de g et trouver son minimum m.
3. Si m ≥ 0, alors g(x) ≥ m ≥ 0 pour tout x : l'inégalité est démontrée.
- Étape 2 : a) g'(x) = 3x² - 12 = 3(x² - 4) = 3(x - 2)(x + 2).
Sur [0 ; +∞[, x + 2 > 0, donc g'(x) a le signe de x - 2 : g'(x) < 0 sur [0 ; 2[, g'(2) = 0, et g'(x) > 0 sur ]2 ; +∞[.
g'(x) = 3(x - 2)(x + 2)
- Étape 3 : b) g est strictement décroissante sur [0 ; 2], puis strictement croissante sur [2 ; +∞[. On calcule g(0) = 16 et g(2) = 8 - 24 + 16 = 0.
| x | 0 | | 2 | | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| g'(x) | | - | 0 | + | |
| g | 16 | décroît | 0 | croît | |
Le minimum de g sur [0 ; +∞[ est donc g(2) = 0.
- Étape 4 : c) Pour tout x ≥ 0, g(x) ≥ g(2) = 0, c'est-à-dire x³ - 12x + 16 ≥ 0, soit x³ + 16 ≥ 12x.
Il y a égalité lorsque g(x) = 0, c'est-à-dire seulement pour x = 2, puisque g est strictement décroissante avant 2 et strictement croissante après. Contrôle : 2³ + 16 = 24 = 12 × 2 ✓
Second contrôle, par factorisation : g(x) = (x - 2)²(x + 4), produit d'un carré et d'un nombre positif pour x ≥ 0.
x³ + 16 ≥ 12x pour tout x ≥ 0
- Étape 5 : L'erreur classique :
Conclure à partir du signe de g' : « g' est négative sur [0 ; 2[, donc g y est négative ». Le signe de g' donne le sens de variation de g, pas son signe : ce qui compte pour l'inégalité, c'est la valeur du minimum.
Autre piège : oublier de vérifier que ce minimum est positif ou nul. Si l'on avait trouvé g(2) = -1, l'inégalité aurait été fausse pour x proche de 2.
À retenir :
Pour démontrer A(x) ≥ B(x), étudier les variations de g = A - B et montrer que son minimum est positif ou nul. Le point où le minimum vaut 0 donne le cas d'égalité.