Lire un nombre dérivé, tracer une tangente

Énoncé

On a tracé ci-dessous la courbe d'une fonction f et ses tangentes aux points A, B et C d'abscisses -2, 0 et 2. On lit sur la figure f(-2) = 0, f(0) = -2 et f(2) = 0. a) Lire graphiquement f'(-2), f'(0) et f'(2), en expliquant la méthode. b) Donner une équation de la tangente en C. c) On admet que f(1) = -1,5 et f'(1) = 1. Expliquer comment tracer la tangente à la courbe au point D d'abscisse 1, et donner son équation.

Indice : f'(a) est la pente de la tangente : repère sur chaque tangente un second point placé sur un nœud du quadrillage.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Le nombre dérivé f'(a) est la pente de la tangente au point d'abscisse a. Le lire sur un graphique, c'est donc lire le coefficient directeur d'une droite, à l'aide de deux de ses points bien placés sur le quadrillage. Pente d'une droite : Si P et Q sont deux points distincts d'une droite non verticale : pente = (yQ - yP)/(xQ - xP) 👉 À l'inverse, pour tracer une tangente dont on connaît la pente m, on part du point de contact, on avance de 1 et on monte de m.
2. Étape 2 : a) La tangente en A(-2 ; 0) passe aussi par le point (-1 ; -2). Sa pente vaut (-2 - 0)/(-1 - (-2)) = (-2)/1 = -2, donc f'(-2) = -2. La tangente en B(0 ; -2) est horizontale : sa pente est nulle, donc f'(0) = 0. La tangente en C(2 ; 0) passe aussi par le point (3 ; 2). Sa pente vaut (2 - 0)/(3 - 2) = 2, donc f'(2) = 2.

   f'(-2) = -2 ; f'(0) = 0 ; f'(2) = 2

3. Étape 3 : b) La tangente en C passe par C(2 ; 0) et a pour pente f'(2) = 2 : y = f(2) + f'(2)(x - 2) = 0 + 2(x - 2), soit y = 2x - 4. Contrôle avec le second point lu : pour x = 3, y = 6 - 4 = 2 ✓

   y = 2x - 4

4. Étape 4 : c) On place D(1 ; -1,5). Depuis D, on avance de 1 vers la droite et on monte de f'(1) = 1 : on arrive au point (2 ; -0,5). La tangente est la droite qui passe par ces deux points. Son équation : y = -1,5 + 1 × (x - 1), soit y = x - 2,5.

   y = x - 2,5

5. Étape 5 : L'erreur classique : Lire l'ordonnée du point de contact au lieu de la pente : répondre f'(0) = -2 parce que le point B est à la hauteur -2. C'est f(0) qui vaut -2 ; la tangente en B est horizontale, donc f'(0) = 0. Autre piège : oublier le signe d'une tangente qui descend. De gauche à droite, la tangente en A descend, donc sa pente est négative. À retenir : f(a) se lit sur la courbe (une hauteur), f'(a) se lit sur la tangente (une pente). Pour la pente, deux points sur des nœuds du quadrillage suffisent ; pour tracer la tangente, on part du point de contact, on avance de 1 et on monte de f'(a).