Dériver des puissances d'exposant négatif

Énoncé

Pour x ≠ 0, on pose : a) f(x) = 1/(x²) b) g(x) = 3/(x⁴) - 2/x c) k(x) = x³ - 1/(x³) Calculer f'(x), g'(x) et k'(x), puis déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1.

Indice : Écris chaque quotient comme une puissance, 1/(xᵖ) = x⁻ᵖ, puis applique (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹, valable pour tout entier relatif n ≠ 0.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. En Première, la formule (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ vaut pour tout entier relatif n non nul, négatif compris. Il suffit donc de réécrire 1/(xᵖ) sous la forme x⁻ᵖ. Puissances d'exposant négatif : Pour tout entier p ≥ 1 et tout x ≠ 0 : 1/(xᵖ) = x⁻ᵖ et (x⁻ᵖ)' = -p x⁻ᵖ⁻¹ = -p/(xᵖ⁺¹) 👉 Le cas p = 1 redonne la dérivée de l'inverse : (x⁻¹)' = -x⁻² = -1/(x²).
2. Étape 2 : a) f(x) = x⁻², donc f'(x) = -2 x⁻²⁻¹ = -2 x⁻³ = -2/(x³).

   f'(x) = -2/(x³)

3. Étape 3 : b) g(x) = 3x⁻⁴ - 2x⁻¹. On dérive terme à terme : (3x⁻⁴)' = 3 × (-4) x⁻⁵ = -12 x⁻⁵ et (-2x⁻¹)' = -2 × (-1) x⁻² = 2 x⁻². Donc g'(x) = -12/(x⁵) + 2/(x²).

   g'(x) = -12/(x⁵) + 2/(x²)

4. Étape 4 : c) k(x) = x³ - x⁻³, donc k'(x) = 3x² - (-3) x⁻⁴ = 3x² + 3/(x⁴). Les deux termes sont strictement positifs pour x ≠ 0, donc k'(x) > 0 : k est strictement croissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

   k'(x) = 3x² + 3/(x⁴)

5. Étape 5 : Tangente. f(1) = 1 et f'(1) = -2/(1³) = -2. La tangente a pour équation y = 1 + (-2)(x - 1), soit y = -2x + 3. Contrôle : pour x = 1, y = -2 + 3 = 1 = f(1) ✓

   y = -2x + 3

6. Étape 6 : L'erreur classique : Se tromper en diminuant l'exposant : -2 - 1 = -3, et non -1. Écrire (x⁻²)' = -2x⁻¹ = -2/x, c'est avoir augmenté l'exposant. Autre faute fréquente : perdre le signe de l'exposant, et écrire (1/(x²))' = 2/(x³). Le contrôle visuel tranche : sur ]0 ; +∞[, 1/(x²) diminue quand x augmente, donc sa dérivée y est négative. Enfin, (1/(x²))' n'est pas 1/2x : on ne dérive pas le dénominateur en gardant la fraction. À retenir : Pour dériver 1/(xᵖ), passer par x⁻ᵖ : (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ vaut pour tout entier relatif n ≠ 0. Puis contrôler le signe de la dérivée avec le sens de variation de la fonction.