La valeur absolue n'est pas dérivable en 0

Énoncé

On considère la fonction valeur absolue f(x) = |x|, définie sur ℝ. On rappelle que |x| = x si x ≥ 0 et |x| = -x si x < 0. a) Pour h > 0, calculer le taux de variation de f entre 0 et h. Même question pour h < 0. b) La fonction f est-elle dérivable en 0 ? Interpréter graphiquement. c) Montrer que f est dérivable en 3 et en -2, et donner f'(3) et f'(-2).

Indice : Le taux de variation entre 0 et h vaut (|h|)/h : remplace |h| par h ou par -h selon le signe de h.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Être dérivable en a, c'est avoir un taux de variation qui se rapproche d'un seul nombre quand h se rapproche de 0, que h soit positif ou négatif. Si les deux côtés ne donnent pas le même nombre, il n'y a pas de nombre dérivé. Nombre dérivé : f est dérivable en a lorsque (f(a+h) - f(a))/h se rapproche d'un nombre réel quand h se rapproche de 0, quel que soit le signe de h. Ce nombre est f'(a). 👉 Pour la valeur absolue, tout se joue sur le signe : on traite séparément h > 0 et h < 0.
2. Étape 2 : a) Le taux de variation entre 0 et h vaut (|h| - |0|)/h = (|h|)/h. Si h > 0, |h| = h, donc le taux vaut h/h = 1. Si h < 0, |h| = -h, donc le taux vaut (-h)/h = -1.

   (|h|)/h = 1 si h > 0, (|h|)/h = -1 si h < 0

3. Étape 3 : b) Quand h se rapproche de 0 par valeurs positives, le taux reste égal à 1 ; par valeurs négatives, il reste égal à -1. Il ne se rapproche donc pas d'un nombre unique : f n'est pas dérivable en 0. Graphiquement, la courbe de f est formée de deux demi-droites, de pentes -1 et 1, qui se rejoignent à l'origine en formant un angle : il n'y a pas de tangente en ce point.
4. Étape 4 : c) En 3 : pour -3 < h < 3, on a 3 + h > 0, donc f(3 + h) = 3 + h, et le taux vaut ((3 + h) - 3)/h = 1. Il est constant, égal à 1 : f est dérivable en 3 et f'(3) = 1. En -2 : pour -2 < h < 2, on a -2 + h < 0, donc f(-2 + h) = -(-2 + h) = 2 - h, et comme f(-2) = 2, le taux vaut ((2 - h) - 2)/h = -1. Donc f'(-2) = -1.

   f'(3) = 1 ; f'(-2) = -1

5. Étape 5 : L'erreur classique : Ne regarder que h > 0 et conclure que f'(0) = 1. Le nombre dérivé exige que le taux se rapproche du même nombre des deux côtés ; or, pour h < 0, il vaut -1. Autre confusion : « f n'est pas dérivable en 0, donc elle n'y est pas définie ». Elle l'est très bien, puisque f(0) = 0 : être définie et être dérivable sont deux choses différentes. À retenir : La valeur absolue est dérivable sur ]-∞ ; 0[, où sa dérivée vaut -1, et sur ]0 ; +∞[, où elle vaut 1, mais pas en 0 : sa courbe y forme un angle. Pour étudier la dérivabilité en un point, on calcule le taux de variation des deux côtés.