Valeurs approchées par la tangente

Énoncé

a) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de la fonction racine carrée au point d'abscisse 9. b) En déduire, sans calculatrice, des valeurs approchées de √(9,06) et de √(8,94). c) Avec g(x) = 1/x et a = 1, justifier que 1/(1 + h) ≈ 1 - h pour h proche de 0. En déduire des valeurs approchées de 1/(1,02) et de 1/(0,97). d) La calculatrice donne 1/(1,02) ≈ 0,980 39. Comparer l'erreur commise à h².

Indice : Approximation linéaire : f(a + h) ≈ f(a) + f'(a) h. Pour b), écris 9,06 = 9 + 0,06.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Près du point de contact, la courbe et sa tangente sont presque confondues. Calculer une valeur sur la tangente, c'est-à-dire sur une droite, est facile : cela donne une valeur approchée de la fonction. Approximation linéaire : Si f est dérivable en a, pour h proche de 0 : f(a + h) ≈ f(a) + f'(a) h C'est l'ordonnée, sur la tangente, du point d'abscisse a + h. 👉 Tout l'intérêt est de choisir un a où f(a) et f'(a) se calculent de tête : a = 9 pour la racine carrée, a = 1 pour l'inverse.
2. Étape 2 : a) Avec f(x) = √(x) et a = 9 : f(9) = 3. Comme f'(x) = 1/(2√(x)), on a f'(9) = 1/(2 × 3) = 1/6. La tangente a pour équation y = 3 + 1/6(x - 9), soit y = 1/6x + 3/2.

   y = 1/6x + 3/2

3. Étape 3 : b) Pour h proche de 0, √(9 + h) ≈ 3 + h/6. Avec h = 0,06 : √(9,06) ≈ 3 + (0,06)/6 = 3 + 0,01 = 3,01. Avec h = -0,06 : √(8,94) ≈ 3 - 0,01 = 2,99. La calculatrice donne 3,009 98 et 2,989 98 : les deux approximations sont justes à 0,000 1 près.

   √(9,06) ≈ 3,01 ; √(8,94) ≈ 2,99

4. Étape 4 : c) Avec g(x) = 1/x : g(1) = 1 et g'(x) = -1/(x²), donc g'(1) = -1. L'approximation linéaire donne g(1 + h) ≈ 1 + (-1) × h, c'est-à-dire 1/(1 + h) ≈ 1 - h. Avec h = 0,02 : 1/(1,02) ≈ 0,98. Avec h = -0,03 : 1/(0,97) ≈ 1,03.

   1/(1+h) ≈ 1 - h

5. Étape 5 : d) L'erreur vaut 0,980 39 - 0,98 = 0,000 39, alors que h² = 0,02² = 0,000 4 : l'erreur est du même ordre que h², donc bien plus petite que h = 0,02. C'est ce qui rend l'approximation utile : diviser h par 10 divise l'erreur par environ 100.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier de multiplier par h, et écrire √(9,06) ≈ 3 + 1/6 ≈ 3,17. Le contrôle est immédiat : 3,17² ≈ 10, bien loin de 9,06. Autre piège : prendre h = 9,06 au lieu de h = 0,06. Le nombre h est l'écart à a, pas le nombre dont on cherche l'image. À retenir : f(a + h) ≈ f(a) + f'(a) h : on remplace la courbe par sa tangente. On choisit a proche du nombre visé, avec f(a) et f'(a) simples ; l'approximation est d'autant meilleure que h est petit.