Étude complète d'une fonction rationnelle

Énoncé

Soit f(x) = x^2 + 3{x - 1} définie pour x 1. a) Calculer f'(x). b) Résoudre f'(x) = 0 et étudier le signe de f'. c) Dresser le tableau de variations de f sur ]- ; 1[ et ]1 ; +[. d) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.

Indice : Utilise la formule du quotient. Pour le signe de f'(x), étudie le signe du numérateur (trinôme du second degré).

Correction

1. Étape 1 : **a)** u = x^2+3, u' = 2x, v = x-1, v' = 1. f'(x) = 2x(x-1) - (x^2+3){(x-1)^2} = x^2 - 2x - 3{(x-1)^2} = (x-3)(x+1){(x-1)^2}.
2. Étape 2 : **b)** f'(x) = 0 x = 3 ou x = -1. Le dénominateur (x-1)^2 > 0 pour x 1.
3. Étape 3 : **c)** f'(x) > 0 sur ]- ; -1[ ]3 ; +[ et f'(x) < 0 sur ]-1 ; 1[ ]1 ; 3[. f(-1) = 4{-2} = -2 (max local sur ]-;1[). f(3) = 12{2} = 6 (min local sur ]1;+[).
4. Étape 4 : **d)** f(2) = 7{1} = 7 et f'(2) = (2-3)(2+1){(2-1)^2} = -3{1} = -3. Tangente : y = -3(x - 2) + 7 = -3x + 13.

   y = -3x + 13