Étude complète d'une fonction rationnelle
Énoncé
Soit f(x) = x^2 + 3{x - 1} définie pour x 1.
a) Calculer f'(x).
b) Résoudre f'(x) = 0 et étudier le signe de f'.
c) Dresser le tableau de variations de f sur ]- ; 1[ et ]1 ; +[.
d) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.
Indice : Utilise la formule du quotient. Pour le signe de f'(x), étudie le signe du numérateur (trinôme du second degré).
Correction
- Étape 1 : Ce qu'il faut voir. C'est l'exercice de synthèse du chapitre : il enchaîne la formule du quotient, la factorisation d'un trinôme, un tableau de variations et une équation de tangente.
Le geste qui simplifie tout le reste arrive tôt : le dénominateur de f' sera un carré, donc strictement positif partout où f est définie. Le signe de f' est donc entièrement décidé par son numérateur — un simple trinôme.
Une difficulté propre à cet exercice : f n'est pas définie en 1. Le tableau de variations comporte donc une double barre à cet endroit, et les variations s'énoncent séparément de part et d'autre.
Ce qu'on utilise :
[formule]
Et : le signe d'un quotient dont le dénominateur est un carré non nul est celui de son numérateur.
- Étape 2 : a) On pose :
u = x^2 + 3, u' = 2x ;
v = x - 1, v' = 1.
On applique la formule en entier :
[formule]
On développe le numérateur, en distribuant le signe moins :
2x(x-1) = 2x^2 - 2x et -(x^2 + 3) = -x^2 - 3.
D'où : 2x^2 - 2x - x^2 - 3 = x^2 - 2x - 3.
[formule]
- Étape 3 : On factorise le numérateur, car c'est lui qui portera tout le signe. Son discriminant vaut = 4 + 12 = 16, donc = 4 et ses racines sont :
x_1 = 2 - 4{2} = -1 et x_2 = 2 + 4{2} = 3.
[formule]
f'(x) = (x+1)(x-3){(x-1)^2}
- Étape 4 : b) Un quotient est nul quand son numérateur l'est (et que son dénominateur ne l'est pas) :
f'(x) = 0 x = -1 ou x = 3.
Pour le signe : (x-1)^2 > 0 pour tout x 1, donc le signe de f' est celui de (x+1)(x-3), un trinôme de coefficient dominant 1 > 0 — positif à l'extérieur de ses racines.
f'(x) > 0 sur ]-\,;-1[ et sur ]3\,;+[ ; f'(x) < 0 sur ]-1\,;1[ et sur ]1\,;3[.
- Étape 5 : c) On calcule les valeurs aux points critiques :
f(-1) = 1 + 3{-1 - 1} = 4{-2} = -2 ;
f(3) = 9 + 3{3 - 1} = 12{2} = 6.
| x | - | | -1 | | 1 | | 3 | | + |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | + | 0 | - | | - | 0 | + | |
| f | | croît | -2 | décroît | | décroît | 6 | croît | |
En x = 1, la fonction n'est pas définie : la colonne y marque une rupture, et les variations se lisent séparément de chaque côté.
f croît sur ]-\,;-1], décroît sur [-1\,;1[, décroît sur ]1\,;3], croît sur [3\,;+[.
Maximum local -2 en x = -1 ; minimum local 6 en x = 3.
- Étape 6 : d) Tangente au point d'abscisse 2.
Ordonnée du point de contact : f(2) = 4 + 3{2 - 1} = 7{1} = 7.
Pente : f'(2) = (2+1)(2-3){(2-1)^2} = 3 (-1){1} = -3.
D'où : y = -3(x - 2) + 7 = -3x + 6 + 7 = -3x + 13.
Contrôle : en x = 2, la droite donne -6 + 13 = 7 = f(2) ✓
y = -3x + 13
- Étape 7 : L'erreur classique :
Écrire que f est décroissante sur ]-1\,;3[. C'est tentant, puisque f' est négative sur tout cet intervalle — mais la fonction n'y est pas définie en 1, et un sens de variation ne s'énonce que sur un intervalle du domaine. Il faut deux affirmations : décroissante sur [-1\,;1[, et décroissante sur ]1\,;3].
Ce n'est pas du pinaillage : entre les deux, la fonction fait un saut de - à +, donc elle ne décroît absolument pas de -2 à 6.
Le paradoxe apparent du maximum plus petit que le minimum. Le maximum local vaut -2 et le minimum local vaut 6 : le maximum est plus petit que le minimum. C'est parfaitement normal ici, parce qu'ils vivent de part et d'autre de la rupture, sur deux morceaux de courbe sans rapport. Le mot local est ce qui rend l'énoncé cohérent.
Distribuer le signe moins de travers au numérateur, et trouver x^2 - 2x + 3, dont le discriminant est négatif — on conclurait alors que f' ne s'annule jamais et que f est monotone. Une faute de signe change complètement la nature du résultat.
À retenir :
Ne développe jamais le dénominateur d'une dérivée de quotient. Sous la forme (x-1)^2, on voit d'un coup d'œil qu'il est positif, et tout le signe se joue au numérateur. Développé, il faudrait l'étudier lui aussi — pour rien.
Et sur une fonction non définie en un point, prends l'habitude de la double barre dans le tableau. Elle rappelle qu'aucune conclusion ne traverse cette colonne : ni variation, ni comparaison de valeurs.