Problème d'optimisation (boîte)

Énoncé

On découpe des carrés de côté x cm aux quatre coins d'une feuille carrée de 24 cm de côté, puis on replie pour former une boîte sans couvercle. a) Exprimer le volume V(x) en fonction de x et préciser le domaine. b) Calculer V'(x) et trouver la valeur de x qui maximise le volume. c) Calculer le volume maximal.

Indice : Les dimensions de la boîte sont : longueur = 24 - 2x, largeur = 24 - 2x, hauteur = x.

Correction

1. Étape 1 : **a)** V(x) = x(24 - 2x)^2 = x(576 - 96x + 4x^2) = 4x^3 - 96x^2 + 576x pour x ]0 ; 12[.
2. Étape 2 : **b)** V'(x) = 12x^2 - 192x + 576 = 12(x^2 - 16x + 48) = 12(x - 4)(x - 12).
3. Étape 3 : V'(x) = 0 x = 4 ou x = 12. Seul x = 4 est dans ]0 ; 12[. V'(x) > 0 sur ]0 ; 4[ et V'(x) < 0 sur ]4 ; 12[ : maximum en x = 4.
4. Étape 4 : **c)** V(4) = 4 16^2 = 4 256 = 1024 cm³.

   V_{} = 1024 cm^3 pour x = 4 cm