Problème d'optimisation (boîte)

Énoncé

On découpe des carrés de côté x cm aux quatre coins d'une feuille carrée de 24 cm de côté, puis on replie pour former une boîte sans couvercle. a) Exprimer le volume V(x) en fonction de x et préciser le domaine. b) Calculer V'(x) et trouver la valeur de x qui maximise le volume. c) Calculer le volume maximal.

Indice : Les dimensions de la boîte sont : longueur = 24 - 2x, largeur = 24 - 2x, hauteur = x.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. L'énoncé ne donne aucune fonction : c'est à nous de la construire. Tout le travail est là, et il commence par un dessin. On découpe un carré de côté x à chaque coin, puis on replie les bords vers le haut. Les rabats deviennent les côtés de la boîte, donc la hauteur vaut x. Et la base est ce qui reste au centre : la feuille a perdu x de chaque côté, donc 2x au total dans chaque direction — la base est un carré de côté 24 - 2x. Un problème d'optimisation, dans l'ordre : 1. Faire un croquis, et exprimer chaque dimension en fonction de x. 2. Écrire la quantité à optimiser, et la développer. 3. Préciser le domaine — les valeurs de x qui ont un sens physique. 4. Dériver, factoriser, dresser le tableau. 5. Revenir au contexte pour répondre.
2. Étape 2 : a) La boîte est un pavé droit dont : - la hauteur est x (le rabat replié) ; - la base est un carré de côté 24 - 2x. Son volume est donc : V(x) = x\,(24 - 2x)^2. On développe, en utilisant (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 : (24 - 2x)^2 = 576 - 96x + 4x^2. D'où V(x) = x(576 - 96x + 4x^2) = 4x^3 - 96x^2 + 576x. Le domaine. Pour que la boîte existe, il faut découper quelque chose (x > 0) et qu'il reste de la base (24 - 2x > 0, soit x < 12). [formule]

   V(x) = 4x^3 - 96x^2 + 576x, x \;]0 ; 12[

3. Étape 3 : b) On dérive : V'(x) = 12x^2 - 192x + 576. On met 12 en facteur : V'(x) = 12(x^2 - 16x + 48). Le trinôme a pour discriminant = 256 - 192 = 64, donc = 8 et ses racines sont : x_1 = 16 - 8{2} = 4 et x_2 = 16 + 8{2} = 12. [formule] Contrôle : 12(x^2 - 12x - 4x + 48) = 12(x^2 - 16x + 48) = 12x^2 - 192x + 576 ✓

   V'(x) = 12(x-4)(x-12)

4. Étape 4 : Des deux racines, seule x = 4 appartient au domaine ]0\,;12[ — la valeur 12 en est exclue, et elle correspond d'ailleurs à une base de côté nul, donc à une boîte de volume nul. Le coefficient dominant est 12 > 0 : le trinôme est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. Sur ]0\,;12[, on est entre 4 et 12 à partir de 4 : | x | 0 | | 4 | | 12 | |---|---|---|---|---|---| | V'(x) | | + | 0 | - | | | V | | croît | 1024 | décroît | | Contrôle : V'(1) = 12(-3)(-11) = 396 > 0 et V'(8) = 12(4)(-4) = -192 < 0 ✓ Le volume est donc maximal en x = 4.

   x = 4

5. Étape 5 : c) On calcule le volume en x = 4, en repartant de la forme factorisée qui est plus rapide : V(4) = 4 (24 - 8)^2 = 4 16^2 = 4 256 = 1\,024. Réponse au problème posé. Il faut découper des carrés de 4 cm de côté. La boîte obtenue mesure alors 16 16 4 cm, et son volume est de 1 024 cm³. On peut sentir que c'est bien un maximum en testant deux valeurs voisines : V(3) = 3 18^2 = 972 et V(5) = 5 14^2 = 980, toutes deux inférieures à 1\,024 ✓

   V_{} = 1\,024 \ cm^3

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire la base 24 - x au lieu de 24 - 2x. On découpe un carré à chaque coin, donc chaque dimension perd x des deux côtés. C'est de loin l'erreur la plus fréquente de cet exercice, et elle se produit avant tout calcul — un croquis la supprime. Oublier le domaine, et retenir x = 12 comme solution. Elle annule la base : la « boîte » n'aurait plus de fond, et son volume serait nul. Une racine mathématique n'est pas toujours une solution du problème. S'arrêter à « x = 4 ». La question c) demande le volume, pas la découpe. Une optimisation se termine par un retour à l'énoncé. À retenir : Dans tout problème d'optimisation géométrique, dessine et annote la figure avant d'écrire la moindre équation. La quasi-totalité des erreurs vient de la mise en équation, pas du calcul qui suit. Et garde la forme factorisée de V pour les évaluations numériques : V(4) = 4 16^2 se calcule de tête, là où 4 64 - 96 16 + 576 4 demande une calculatrice et invite à la faute.