Extremum d'une fonction sur un intervalle

Énoncé

Soit f(x) = -x^2 + 6x - 5 sur [0 ; 5]. a) Calculer f'(x) et trouver les points critiques. b) Déterminer le maximum et le minimum de f sur [0 ; 5].

Indice : Sur un intervalle fermé, compare les valeurs aux bornes et aux points critiques.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Une nouveauté par rapport aux exercices précédents : l'étude est limitée à un intervalle fermé [0\,;5]. Cela change la conclusion, et d'une façon qu'on oublie systématiquement. Sur R, les extremums ne peuvent se trouver qu'aux points où f' s'annule. Sur un segment, ils peuvent aussi se trouver aux bornes — la fonction peut très bien être en train de monter au moment où l'intervalle s'arrête. Extremums sur un segment : Si f est dérivable sur [a\,;b], ses extremums sont atteints soit en un point où f' s'annule, soit en a, soit en b. Il suffit donc de calculer f en ces quelques points et de comparer.
2. Étape 2 : a) On dérive : f'(x) = -2x + 6. On cherche où elle s'annule : f'(x) = 0 -2x + 6 = 0 x = 3. Cette valeur appartient bien à [0\,;5] : c'est donc un point critique à retenir. (Si elle en était sortie, on l'aurait écartée.)

   f'(x) = -2x + 6, x = 3

3. Étape 3 : f' est une fonction affine de coefficient -2 < 0 : elle est décroissante, donc positive avant 3 et négative après. | x | 0 | | 3 | | 5 | |---|---|---|---|---|---| | f'(x) | | + | 0 | - | | | f | -5 | croît | 4 | décroît | 0 | f croît sur [0\,;3] puis décroît sur [3\,;5].
4. Étape 4 : b) On calcule f aux trois points qui comptent — le point critique et les deux bornes : f(0) = -0 + 0 - 5 = -5 ; f(3) = -9 + 18 - 5 = 4 ; f(5) = -25 + 30 - 5 = 0. On compare : la plus grande valeur est 4, la plus petite est -5. Maximum : 4, atteint en x = 3 (un point critique). Minimum : -5, atteint en x = 0 (une borne).

   f = 4 en 3, f = -5 en 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Ne regarder que les points critiques et annoncer qu'il n'y a pas de minimum, ou que le minimum est en x = 5 « puisque la fonction y descend ». Ici le minimum est en x = 0, une borne, et f' ne s'y annule pas du tout. Le piège vient de l'habitude prise sur R : là, un extremum implique f'(a) = 0. Sur un segment, c'est faux. Second piège : oublier de vérifier que le point critique est dans l'intervalle. Si l'on avait travaillé sur [0\,;2], la valeur x = 3 serait hors sujet, et les extremums seraient tous deux aux bornes. À retenir : Sur un segment [a\,;b], la liste des candidats est courte et complète : les points où f' s'annule, plus a, plus b. On calcule f en chacun, on compare, on conclut. Aucune subtilité — mais aucune impasse non plus. Et précise toujours où l'extremum est atteint, pas seulement sa valeur : « le minimum vaut -5 » est une demi-réponse, « le minimum vaut -5 et est atteint en x = 0 » est la réponse.