Tableau de variations complet

Énoncé

Soit f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 définie sur R. a) Calculer f'(x) et factoriser. b) Résoudre f'(x) = 0. c) Dresser le tableau de variations de f.

Indice : Factorise f'(x) en reconnaissant un carré ou un produit de facteurs du premier degré.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3).
2. Étape 2 : **b)** f'(x) = 0 x = 1 ou x = 3.
3. Étape 3 : **c)** f'(x) > 0 sur ]- ; 1[ ]3 ; +[ et f'(x) < 0 sur ]1 ; 3[.
4. Étape 4 : f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5 (maximum local) et f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1 (minimum local). f est croissante sur ]- ; 1], décroissante sur [1 ; 3], croissante sur [3 ; +[.