Tableau de variations complet

Énoncé

Soit f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 définie sur R. a) Calculer f'(x) et factoriser. b) Résoudre f'(x) = 0. c) Dresser le tableau de variations de f.

Indice : Factorise f'(x) en reconnaissant un carré ou un produit de facteurs du premier degré.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Même démarche que l'exercice précédent, mais la factorisation de f' demande cette fois un vrai calcul : le trinôme n'est pas une différence de carrés, il faut passer par le discriminant. Ce qu'on utilise : Le signe de f' donne les variations de f. Et pour factoriser un trinôme ax^2+bx+c de racines x_1 et x_2 : a(x - x_1)(x - x_2).
2. Étape 2 : a) On dérive : f'(x) = 3x^2 - 12x + 9. On met 3 en facteur pour alléger : f'(x) = 3(x^2 - 4x + 3). On factorise le trinôme entre parenthèses. Son discriminant vaut = (-4)^2 - 4 1 3 = 16 - 12 = 4, donc = 2 et ses racines sont : x_1 = 4 - 2{2} = 1 et x_2 = 4 + 2{2} = 3. D'où f'(x) = 3(x - 1)(x - 3). Contrôle en développant : 3(x^2 - 3x - x + 3) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3x^2 - 12x + 9 ✓

   f'(x) = 3(x-1)(x-3)

3. Étape 3 : b) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : f'(x) = 0 x = 1 ou x = 3. (Le facteur 3 ne s'annule jamais.)

   x = 1 \ ou \ x = 3

4. Étape 4 : c) f' est un trinôme de coefficient dominant 3 > 0 : positif à l'extérieur de ses racines, négatif entre elles. On calcule les valeurs de f aux deux points critiques : f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5 et f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1. | x | - | | 1 | | 3 | | + | |---|---|---|---|---|---|---|---| | f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | | | f | | croît | 5 | décroît | 1 | croît | | Contrôle : f'(0) = 9 > 0, f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3 < 0, f'(4) = 48 - 48 + 9 = 9 > 0 ✓

   f(1) = 5, f(3) = 1

5. Étape 5 : Conclusion. f est croissante sur ]-\,;1], décroissante sur [1\,;3], croissante sur [3\,;+[. Maximum local 5 en x = 1 ; minimum local 1 en x = 3. ℹ️ Remarque intéressante : le minimum local vaut 1 > 0, et la fonction croît ensuite. Mais avant x = 1 elle croît depuis des valeurs très négatives — donc f s'annule une fois, et une seule, quelque part avant 1. Le tableau de variations permet de le savoir sans résoudre l'équation.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier de remettre le facteur 3 après avoir factorisé le trinôme : écrire f'(x) = (x-1)(x-3). Ce n'est pas la même fonction — mais comme le 3 est positif, il ne change ni les racines ni le signe. L'erreur est donc sans conséquence ici, et c'est précisément ce qui la rend dangereuse : elle passera inaperçue jusqu'au jour où le facteur sera négatif, et où tout le tableau sera inversé. Confondre les lignes du tableau. La ligne f'(x) porte des signes (+, -, 0) ; la ligne f porte des variations et des valeurs. Mettre un + sur la ligne de f n'a aucun sens. À retenir : Quand tu mets un coefficient en facteur, garde-le visible jusqu'au bout : 3(x-1)(x-3), et non (x-1)(x-3). Le jour où ce coefficient sera négatif, c'est lui qui décidera du sens de toutes les variations. Et prends l'habitude du contrôle par une valeur test dans chaque zone : trois calculs de tête, et le tableau est validé.